의예과 1번

구간 $\displaystyle [a,x]$에서 도함수가 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle M,m$을 다음과 같이 정의 하자.$\displaystyle M=\max\{f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a):a\le t\le x\},\quad m=\min\{f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a):a\le t\le x\}\qquad(1)$그러면, 도함수의 연속성에 의해$\displaystyle -\infty<m\le M<\infty$이고$\displaystyle \lim_{x\to a+0}m=0,\quad\lim_{x\to a+0}M=0\qquad(2)$이 된다.

한편, 제시문 (ㅁ)의 평균값 정리에 의해 함수 $\displaystyle g(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.Correction. 평균값 정리를 참조한 제시문 (ㅁ)은 (ㄱ)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(d)-f^{\prime}(a),\quad(a<d<x).\qquad(3)$따라서, 식 (1)과 식 (3)에 의해서 다음과 같은 부등호를 얻을 수 있다.$\displaystyle m\le g(x)\le M.\qquad(4)$

식 (4)에 $\displaystyle x-a$를 곱한후 구간 $\displaystyle [a,x]$에서 적분하면$\displaystyle \frac12m(x-a)^2\le\int_a^xg(t)(t-a)\,dt\le\frac12M(x-a)^2$이 되므로$\displaystyle \frac12m\le\frac1{(x-a)^2}\int_a^xg(t)(t-a)\,dt\le\frac12M$을 얻을 수 있다.

식 (2)에 의해 $\displaystyle \lim_{x\to0}m=0,\;\lim_{x\to0}M=0$이므로, 극한의 대소 관계에 의해Correction. 두 극한의 $\displaystyle x\to0$은 $\displaystyle x\to a^+$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac1{(x-a)^2}\int_a^xg(t)(t-a)\,dt=0$이 된다.

제시문 (ㅂ)에서 정의된 함수 $\displaystyle \beta(x)$에 의해, 실수 전체에서 미분 가능한 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같이 표현된다.Correction. 제시문 (ㅂ)과 함수 $\displaystyle \beta(x)$는 각각 (ㄹ)과 $\displaystyle g(x)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+g(x)(x-a).\qquad(5)$

식 (5)의 양변을 구간 $\displaystyle [a,x]$에서 적분하면, 다음의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \int_a^xf(t)\,dt=f(a)(x-a)+\frac{f^{\prime}(a)}2(x-a)^2+\int_a^xg(t)(t-a)dt$$\displaystyle \Rightarrow\quad\frac1{x-a}\left(\frac1{x-a}\int_a^xf(t)\,dt-f(a)\right)=\frac{f^{\prime}(a)}2+\frac1{(x-a)^2}\int_a^xg(t)(t-a)dt.\qquad(6)$

함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수가 연속함수 이므로, 논제 1의 결과에 따르면,$\displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac1{(x-a)^2}\int_a^xg(t)(t-a)\,dt=0,\qquad(7)$이 된다. 따라서, 식 (6)과 식 (7)에 의해서 가홍이의 예상이 성립함을 알 수 있다.