자연계열 2번

$\displaystyle g(x)=ax+b$라고 하고, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)=(a-1)x+b$라고 하자. $\displaystyle h(x)$가 일차함수이고 $\displaystyle h(0)=b,\;h(1)=a-1+b$이므로, $\displaystyle d(f,g)=\max(|b|,|a-1+b|)$이다.

$\displaystyle g$가 $\displaystyle D_f$의 원소가 되기 위해서는 제시문 (ㅁ)에 의해, $\displaystyle |b|\le1,\;|a+b-1|\le1$을 만족해야 한다.

그런데, $\displaystyle g(0)=b,\;g(1)=a+b$이므로, $\displaystyle -1\le g(0)\le1,\;0\le g(1)\le2$, 즉, $\displaystyle D_f$는 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle [-1,1]$의 한 점을 지나고, $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle [0,2]$의 한 점을 지나는 모든 일차함수의 집합이 되므로, $\displaystyle C(D_f)$는 밑변이 $\displaystyle 2$이고 높이가 $\displaystyle 1$인 평행사변형이 되어, 그 면적은 $\displaystyle 2$가 된다.

$\displaystyle g(x)=ax$라고 하고, $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=2x^2-ax=2(x-a/4)^2-\frac{a^2}8$라고 하자. $\displaystyle |h(1)|=|2-a|$이므로 $\displaystyle g$가 $\displaystyle D_f$의 원소가 되기 위해서는 $\displaystyle 1\le a\le3$이 되어야 한다. 이 경우, $\displaystyle \frac a4$는 $\displaystyle 1$보다 작으므로, $\displaystyle h(x)$의 꼭짓점은 $\displaystyle 0\le x\le1$에 있다. 따라서 $\displaystyle g$가 $\displaystyle D_f$의 원소인 경우에는 $\displaystyle d(f,g)=\max(\frac{a^2}8,|2-a|)\le1$을 만족하므로, 제시문 (ㅁ)에 의해 $\displaystyle 1\le a\le2\sqrt2$이다.

즉, $\displaystyle P_0\cap D_f$는 원점을 통과하고 기울기가 $\displaystyle 1\le a\le2\sqrt2$인 일차함수의 집합이므로, $\displaystyle C(P_0\cap D_f)$는 밑변의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt2-1$이고 높이가 $\displaystyle 1$인 삼각형이 되어 그 면적은 $\displaystyle \frac{2\sqrt2-1}2$이다.