자연계열 1번

행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}f(r)&g(r)+\alpha\\1&h(r)\end{pmatrix}$의 역행렬이 임의의 실수 $\displaystyle r$에 대하여 존재하려면 임의의 실수 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle f(r)h(r)-g(r)-\alpha\ne0$이어야 한다.$\displaystyle F(r)=f(r)h(r)-g(r)-\alpha$이라고 하면 $\displaystyle F(r)=\frac14r^4+\frac13r^3-r^2-2r-\alpha$이다.

그런데 $\displaystyle F^{\prime}(r)=r^3+r^2-2r-2=(r+1)(r^2-2)$이고 $\displaystyle F(-\sqrt2)=-1+\frac43\sqrt2-\alpha,\;F(\sqrt2)=-1-\frac43\sqrt2-\alpha$이므로 $\displaystyle F(r)$은 $\displaystyle r=\sqrt2$일 때 최솟값 $\displaystyle F(\sqrt2)=-1-\frac43\sqrt2-\alpha$을 가지고 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}F(r)=\infty,\;\lim_{r\to-\infty}F(r)=\infty$이므로 임의의 실수 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle F(r)\ne0$일 필요충분조건은 $\displaystyle F(\sqrt2)=-1-\frac43\sqrt2-\alpha>0$인 것이다.따라서 행렬 $\displaystyle A$의 역행렬이 임의의 실수 $\displaystyle r$에 대하여 존재하기 위한 모든 $\displaystyle \alpha$의 범위는 $\displaystyle \alpha<-1-\frac43\sqrt2$이다.

행렬 $\displaystyle B=\begin{pmatrix}f(2)&g(2)+\beta\\1&h(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&g(2)+\beta\\1&3\end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않는 경우는 $\displaystyle g(2)+\beta=18$인 경우이다.이 때 제시문 (ㄹ)에 의해 $\displaystyle B^2-9B=O$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle B^n=9^{n-1}B$이다.

그러므로 행렬 $\displaystyle B$의 역행렬이 존재하지 않을 때 $\displaystyle B^n$의 모든 성분의 합은 $\displaystyle S_n=28\times9^{n-1}$이다.따라서 행렬 $\displaystyle B$의 역행렬이 존재하지 않을 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\log_3(S_n)}n=2$이다.