생활과학·미디어 3번

$\displaystyle p_2=-\log_{10}\frac2{100}=2-\log_{10}2$이고, $\displaystyle p_3=-\log_{10}\frac3{100}=2-\log_{10}3$이다.따라서, $\displaystyle \log_{10}2=2-p_2,\;\log_{10}3=2-p_3$이다.

수소 이온 농도가 $\displaystyle 0.0015\,M$인 용액의 $\displaystyle pH$값은$\displaystyle \begin{aligned}-\log_{10}\frac{15}{10000}&=4-\log_{10}15\\&=4-\log_{10}3-\log_{10}5\\&=4-\log_{10}3-(1-\log_{10}2)\\&=3-\log_{10}3+\log_{10}2\\&=3-(2-p_3)+(2-p_2)\\&=3+p_3-p_2\end{aligned}$이다.

선택된 세 용액을 $\displaystyle A_n,A_m,A_l$이라고 하자. (단, $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$)이 세 용액의 $\displaystyle pH$값은 각각 $\displaystyle 2-\log_{10}n,\;2-\log_{10}m,\;2-\log_{10}l$이다.이 세 값이 등차수열을 이루므로 $\displaystyle 2-\log_{10}m=\frac12(2-\log_{10}n+2-\log_{10}l)$을 만족한다.따라서 $\displaystyle 2\log_{10}m=\log_{10}nl$이 성립한다. 즉, $\displaystyle m^2=nl$이다.

$\displaystyle m$은 $\displaystyle 2\le m\le9$범위의 자연수이므로 각각의 $\displaystyle m$의 값에 대해 가능한 $\displaystyle n,l$을 구하도록 하자.$\displaystyle m=2:\;nl=4$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$이므로 $\displaystyle n=1,l=4$이다.$\displaystyle m=3:\;nl=9$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$이므로 $\displaystyle n=1,l=9$이다.$\displaystyle m=4:\;nl=16$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$이므로 $\displaystyle n=2,l=8$이다.$\displaystyle m=5:\;nl=25$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n,l$은 없다.$\displaystyle m=6:\;nl=36$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$이므로 $\displaystyle n=4,l=9$이다.$\displaystyle m=7:\;nl=49$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n,l$은 없다.$\displaystyle m=8:\;nl=64$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n,l$은 없다.$\displaystyle m=9:\;nl=81$이고 $\displaystyle 1\le n<m<l\le10$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n,l$은 없다.따라서, 가능한 세 용액의 조합은$\displaystyle (A_1,A_2,A_4),\;(A_1,A_3,A_9),\;(A_2,A_4,A_8),\;(A_4,A_6,A_9)$의 총 $\displaystyle 4$가지 경우이다.