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자연계열 2번

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가톨릭대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2016su/jayeon_2

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[문항 2] 제시문 (ㄱ)~(ㄷ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (40점)

(ㄱ) 수열 {sn}\displaystyle \{s_n\}의 일반항을 다음과 같이 정의하자.

sn=∑k=1n1k=1+12+13+⋯+1n\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}=1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}

그리고 실수 r\displaystyle r에 대하여 수열 {pn}\displaystyle \{p_n\}의 일반항을 다음과 같이 정의하자.

pn=snnr\displaystyle p_n=\frac{s_n}{n^r}

(ㄴ) 두 수열 {an},{bn}\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}이 수렴하고, lim⁡n→∞an=α,  lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\;\lim_{n\to\infty}b_n=\beta (α,β\displaystyle \alpha,\beta는 실수)일 때, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

(ㄷ) (수학적 귀납법) 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두가지를 증명하면 된다.

① n=1\displaystyle n=1일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

② n=k\displaystyle n=k일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

논제 1. (20점) 제시문 (ㄱ)에서 정의된 수열 {sn}\displaystyle \{s_n\}은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식을 만족함을 수학적 귀납법을 이용하여 논술하시오.

2n+1−2≤sn≤2n\displaystyle 2\sqrt{n+1}-2\le s_n\le2\sqrt n

논제 2. (20점) 제시문 (ㄱ)에서 정의된 수열 {pn}\displaystyle \{p_n\}이 수렴하도록 하는 모든 r\displaystyle r의 범위에 대하여 논술하시오.

해설강의 준비중

가톨릭대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2016su/jayeon_2

+2점

먼저sn≤2n\displaystyle s_n\le2\sqrt n　①이 성립함을 보이자.1) n=1\displaystyle n=1일 때,(좌변)=s1=1,(우변)=21=2.\displaystyle (\text{좌변})=s_1=1,\quad(\text{우변})=2\sqrt1=2.따라서 n=1\displaystyle n=1일 때, ①이 성립한다.

+8점

2) n=k  (k≥2)\displaystyle n=k\;(k\ge2)일 때, ①이 성립한다고 가정하면Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다: 대학 예시답안은 n=1\displaystyle n=1일 때만 확인한 뒤 귀납 단계에서 k≥2\displaystyle k\ge2라고 썼다. 이 범위로는 n=1\displaystyle n=1에서 n=2\displaystyle n=2로 넘어가는 단계가 포함되지 않으므로 모든 자연수에 대한 증명이 완성되지 않는다. 이 문제의 귀납 단계 계산은 k=1\displaystyle k=1에서도 성립하므로 k≥1\displaystyle k\ge1로 고치면 된다. k≥2\displaystyle k\ge2를 유지하려면 n=2\displaystyle n=2일 때도 별도로 확인해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.sk≤2k(i).\displaystyle s_k\le2\sqrt k\qquad\text{(i).}(i)의 각 변에 1k+1\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}을 더해주면,sk+1≤2k+1k+1\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}이 때k+1−k=1k+1+k≥12k+1\displaystyle \sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k}\ge\frac1{2\sqrt{k+1}}⇒2k+1k+1≤2k+1\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}이므로,sk+1≤2k+1k+1≤2k+1.\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}.따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 ①이 성립한다.1), 2)가 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ①이 성립한다.

+2점

다음으로2n+1−2≤sn\displaystyle 2\sqrt{n+1}-2\le s_n　②이 성립함을 보이자.3) n=1\displaystyle n=1일 때,(좌변)=22−2≈0.828,(우변)=s1=1.\displaystyle (\text{좌변})=2\sqrt2-2\approx0.828,\quad(\text{우변})=s_1=1.따라서 n=1\displaystyle n=1일 때, ②이 성립한다.

+8점

4) n=k  (k≥2)\displaystyle n=k\;(k\ge2)일 때, ②이 성립한다고 가정하면Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다: 대학 예시답안은 n=1\displaystyle n=1일 때만 확인한 뒤 귀납 단계에서 k≥2\displaystyle k\ge2라고 썼다. 이 범위로는 n=1\displaystyle n=1에서 n=2\displaystyle n=2로 넘어가는 단계가 포함되지 않으므로 모든 자연수에 대한 증명이 완성되지 않는다. 이 문제의 귀납 단계 계산은 k=1\displaystyle k=1에서도 성립하므로 k≥1\displaystyle k\ge1로 고치면 된다. k≥2\displaystyle k\ge2를 유지하려면 n=2\displaystyle n=2일 때도 별도로 확인해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.2k+1−2≤sk(ii).\displaystyle 2\sqrt{k+1}-2\le s_k\qquad\text{(ii).}(ii)의 각 변에 1k+1\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}을 더해주면,2k+1+1k+1−2≤sk+1\displaystyle 2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\le s_{k+1}이 때k+2−k+1=1k+2+k+1≤12k+1\displaystyle \sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}=\frac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}\le\frac1{2\sqrt{k+1}}⇒2k+2≤2k+1+1k+1\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt{k+2}\le2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}이므로,sk+1≥2k+1+1k+1−2≥2k+2−2.\displaystyle s_{k+1}\ge2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\ge2\sqrt{k+2}-2.따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 ②이 성립한다.3), 4)가 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ②이 성립한다.모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ①, ②가 성립하므로, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 논제 1의 부등식이 성립한다.

논제 1에 의해서 모든 실수 r\displaystyle r에 대하여2n+1−2nr=2n1/2−r(1+1n−1n)≤snnr≤2nnr=2n1/2−r\displaystyle \frac{2\sqrt{n+1}-2}{n^r}=2n^{1/2-r}\left(\sqrt{1+\frac1n}-\frac1{\sqrt n}\right)\le\frac{s_n}{n^r}\le\frac{2\sqrt n}{n^r}=2n^{1/2-r}이다. lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=0이고, lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}=0이므로,

+6점

제시문 (ㄴ)에 의하여 r=12\displaystyle r=\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=2,

+6점

r>12\displaystyle r>\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=0,

+6점

r<12\displaystyle r<\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=\infty이다.

+2점

따라서 r≥12\displaystyle r\ge\frac12이면, 수열 {pn}\displaystyle \{p_n\}은 수렴한다.

주의사항

논제 1에서 2), 4)의 부등식에 대한 설명이 없으면 0점.

“1), 2)가 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여 ①이 성립한다.”

“3), 4)가 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여 ②이 성립한다.”

“모든 자연수 n에 대하여 ①, ②가 성립하므로, 모든 자연수 n에 대하여 논제 1의 부등식이 성립한다.”의 내용이 없으면 1개당 1점씩 감점.

논제 2에서 3가지 경우를 논리적으로 정확하게 찾는 경우에만 6점씩 부여.

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