수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

가톨릭대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2016su/jayeon_2

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가톨릭대 2016학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2016su/jayeon_2

+2점 · 먼저sn≤2n\displaystyle s_n\le2\sqrt n　①이 성립함을 보이자.1) n=1\displaystyle n=1일 때,(좌변)=s1=1,(우변)=21=2.\displaystyle (\text{좌변})=s_1=1,\quad(\text{우변})=2\sqrt1=2.따라서 n=1\displaystyle n=1일 때, ①이 성립한다.

먼저sn≤2n\displaystyle s_n\le2\sqrt n　①이 성립함을 보이자.1) n=1\displaystyle n=1일 때,(좌변)=s1=1,(우변)=21=2.\displaystyle (\text{좌변})=s_1=1,\quad(\text{우변})=2\sqrt1=2.따라서 n=1\displaystyle n=1일 때, ①이 성립한다.

+8점 · 2) n=k  (k≥2)\displaystyle n=k\;(k\ge2)일 때, ①이 성립한다고 가정하면sk≤2k(i).\displaystyle s_k\le2\sqrt k\qquad\text{(i).}(i)의 각 변에 1k+1\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}을 더해주면,sk+1≤2k+1k+1\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}이 때k+1−k=1k+1+k≥12k+1\displaystyle \sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k}\ge\frac1{2\sqrt{k+1}}⇒2k+1k+1≤2k+1\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}이므로,sk+1≤2k+1k+1≤2k+1.\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}.따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 ①이 성립한다.1), 2)가 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ①이 성립한다.

2) n=k  (k≥2)\displaystyle n=k\;(k\ge2)일 때, ①이 성립한다고 가정하면Comment. n=1\displaystyle n=1을 직접 확인했으므로 귀납 가정의 k≥2\displaystyle k\ge2는 k≥1\displaystyle k\ge1로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.sk≤2k(i).\displaystyle s_k\le2\sqrt k\qquad\text{(i).}(i)의 각 변에 1k+1\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}을 더해주면,sk+1≤2k+1k+1\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}이 때k+1−k=1k+1+k≥12k+1\displaystyle \sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k}\ge\frac1{2\sqrt{k+1}}⇒2k+1k+1≤2k+1\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}이므로,sk+1≤2k+1k+1≤2k+1.\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}.따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 ①이 성립한다.1), 2)가 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ①이 성립한다.

+2점 · 다음으로2n+1−2≤sn\displaystyle 2\sqrt{n+1}-2\le s_n　②이 성립함을 보이자.3) n=1\displaystyle n=1일 때,(좌변)=22−2≈0.828,(우변)=s1=1.\displaystyle (\text{좌변})=2\sqrt2-2\approx0.828,\quad(\text{우변})=s_1=1.따라서 n=1\displaystyle n=1일 때, ②이 성립한다.

다음으로2n+1−2≤sn\displaystyle 2\sqrt{n+1}-2\le s_n　②이 성립함을 보이자.3) n=1\displaystyle n=1일 때,(좌변)=22−2≈0.828,(우변)=s1=1.\displaystyle (\text{좌변})=2\sqrt2-2\approx0.828,\quad(\text{우변})=s_1=1.따라서 n=1\displaystyle n=1일 때, ②이 성립한다.

+8점 · 4) n=k  (k≥2)\displaystyle n=k\;(k\ge2)일 때, ②이 성립한다고 가정하면2k+1−2≤sk(ii).\displaystyle 2\sqrt{k+1}-2\le s_k\qquad\text{(ii).}(ii)의 각 변에 1k+1\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}을 더해주면,2k+1+1k+1−2≤sk+1\displaystyle 2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\le s_{k+1}이 때k+2−k+1=1k+2+k+1≤12k+1\displaystyle \sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}=\frac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}\le\frac1{2\sqrt{k+1}}⇒2k+2≤2k+1+1k+1\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt{k+2}\le2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}이므로,sk+1≥2k+1+1k+1−2≥2k+2−2.\displaystyle s_{k+1}\ge2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\ge2\sqrt{k+2}-2.따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 ②이 성립한다.3), 4)가 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ②이 성립한다.모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ①, ②가 성립하므로, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 논제 1의 부등식이 성립한다.

4) n=k  (k≥2)\displaystyle n=k\;(k\ge2)일 때, ②이 성립한다고 가정하면Comment. n=1\displaystyle n=1을 직접 확인했으므로 귀납 가정의 k≥2\displaystyle k\ge2는 k≥1\displaystyle k\ge1로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.2k+1−2≤sk(ii).\displaystyle 2\sqrt{k+1}-2\le s_k\qquad\text{(ii).}(ii)의 각 변에 1k+1\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}을 더해주면,2k+1+1k+1−2≤sk+1\displaystyle 2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\le s_{k+1}이 때k+2−k+1=1k+2+k+1≤12k+1\displaystyle \sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}=\frac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}\le\frac1{2\sqrt{k+1}}⇒2k+2≤2k+1+1k+1\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt{k+2}\le2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}이므로,sk+1≥2k+1+1k+1−2≥2k+2−2.\displaystyle s_{k+1}\ge2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\ge2\sqrt{k+2}-2.따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 ②이 성립한다.3), 4)가 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ②이 성립한다.모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ①, ②가 성립하므로, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 논제 1의 부등식이 성립한다.

논제 1에 의해서 모든 실수 r\displaystyle r에 대하여2n+1−2nr=2n1/2−r(1+1n−1n)≤snnr≤2nnr=2n1/2−r\displaystyle \frac{2\sqrt{n+1}-2}{n^r}=2n^{1/2-r}\left(\sqrt{1+\frac1n}-\frac1{\sqrt n}\right)\le\frac{s_n}{n^r}\le\frac{2\sqrt n}{n^r}=2n^{1/2-r}이다. lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=0이고, lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}=0이므로,

+6점 · 논제 1에 의해서 모든 실수 r\displaystyle r에 대하여 2n+1−2nr=2n1/2−r(1+1n−1n)≤snnr≤2nnr=2n1/2−r\displaystyle \frac{2\sqrt{n+1}-2}{n^r}=2n^{1/2-r}\left(\sqrt{1+\frac1n}-\frac1{\sqrt n}\right)\le\frac{s_n}{n^r}\le\frac{2\sqrt n}{n^r}=2n^{1/2-r}이다. lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=0이고, lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}=0이므로, 제시문 (ㄴ)에 의하여 r=12\displaystyle r=\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=2,

제시문 (ㄴ)에 의하여 r=12\displaystyle r=\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=2,

+6점 · r>12\displaystyle r>\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=0,

r>12\displaystyle r>\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=0,

+6점 · r<12\displaystyle r<\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=\infty이다.

r<12\displaystyle r<\frac12이면 lim⁡n→∞snnr=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=\infty이다.

+2점 · 따라서 r≥12\displaystyle r\ge\frac12이면, 수열 {pn}\displaystyle \{p_n\}은 수렴한다.

따라서 r≥12\displaystyle r\ge\frac12이면, 수열 {pn}\displaystyle \{p_n\}은 수렴한다.

주의사항

논제 1에서 2), 4)의 부등식에 대한 설명이 없으면 0점.

“1), 2)가 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여 ①이 성립한다.”

“3), 4)가 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여 ②이 성립한다.”

“모든 자연수 n에 대하여 ①, ②가 성립하므로, 모든 자연수 n에 대하여 논제 1의 부등식이 성립한다.”의 내용이 없으면 1개당 1점씩 감점.

논제 2에서 3가지 경우를 논리적으로 정확하게 찾는 경우에만 6점씩 부여.

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