간호-자연 2번

먼저$\displaystyle s_n\le2\sqrt n$　①이 성립함을 보이자.1) $\displaystyle n=1$일 때,$\displaystyle (\text{좌변})=s_1=1,\quad(\text{우변})=2\sqrt1=2.$따라서 $\displaystyle n=1$일 때, ①이 성립한다.

2) $\displaystyle n=k\;(k\ge2)$일 때, ①이 성립한다고 가정하면Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다: 대학 예시답안은 $\displaystyle n=1$일 때만 확인한 뒤 귀납 단계에서 $\displaystyle k\ge2$라고 썼다. 이 범위로는 $\displaystyle n=1$에서 $\displaystyle n=2$로 넘어가는 단계가 포함되지 않으므로 모든 자연수에 대한 증명이 완성되지 않는다. 이 문제의 귀납 단계 계산은 $\displaystyle k=1$에서도 성립하므로 $\displaystyle k\ge1$로 고치면 된다. $\displaystyle k\ge2$를 유지하려면 $\displaystyle n=2$일 때도 별도로 확인해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle s_k\le2\sqrt k\qquad\text{(i).}$(i)의 각 변에 $\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}$을 더해주면,$\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}$이 때$\displaystyle \sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k}\ge\frac1{2\sqrt{k+1}}$$\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}$이므로,$\displaystyle s_{k+1}\le2\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt{k+1}.$따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 ①이 성립한다.1), 2)가 성립하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 ①이 성립한다.

다음으로$\displaystyle 2\sqrt{n+1}-2\le s_n$　②이 성립함을 보이자.3) $\displaystyle n=1$일 때,$\displaystyle (\text{좌변})=2\sqrt2-2\approx0.828,\quad(\text{우변})=s_1=1.$따라서 $\displaystyle n=1$일 때, ②이 성립한다.

4) $\displaystyle n=k\;(k\ge2)$일 때, ②이 성립한다고 가정하면Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다: 대학 예시답안은 $\displaystyle n=1$일 때만 확인한 뒤 귀납 단계에서 $\displaystyle k\ge2$라고 썼다. 이 범위로는 $\displaystyle n=1$에서 $\displaystyle n=2$로 넘어가는 단계가 포함되지 않으므로 모든 자연수에 대한 증명이 완성되지 않는다. 이 문제의 귀납 단계 계산은 $\displaystyle k=1$에서도 성립하므로 $\displaystyle k\ge1$로 고치면 된다. $\displaystyle k\ge2$를 유지하려면 $\displaystyle n=2$일 때도 별도로 확인해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 2\sqrt{k+1}-2\le s_k\qquad\text{(ii).}$(ii)의 각 변에 $\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}$을 더해주면,$\displaystyle 2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\le s_{k+1}$이 때$\displaystyle \sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}=\frac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}\le\frac1{2\sqrt{k+1}}$$\displaystyle \Rightarrow\quad2\sqrt{k+2}\le2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}$이므로,$\displaystyle s_{k+1}\ge2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+1}}-2\ge2\sqrt{k+2}-2.$따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 ②이 성립한다.3), 4)가 성립하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 ②이 성립한다.모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 ①, ②가 성립하므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 논제 1의 부등식이 성립한다.

제시문 (ㄴ)에 의하여 $\displaystyle r=\frac12$이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=2$,

$\displaystyle r>\frac12$이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=0$,

$\displaystyle r<\frac12$이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{n^r}=\infty$이다.

따라서 $\displaystyle r\ge\frac12$이면, 수열 $\displaystyle \{p_n\}$은 수렴한다.