간호-자연 3번

$\displaystyle a=100,M=100,m=12$ ($\displaystyle a$는 빨간 구슬의 개수, $\displaystyle M$은 시행 횟수, $\displaystyle m$은 빨간 구슬을 꺼낸 횟수)라고 하면, $\displaystyle P_N(12)=\frac{{}_{N-a}\mathrm C_{M-m}\;{}_a\mathrm C_m}{{}_N\mathrm C_M}$이다.

이로부터 $\displaystyle \frac{P_{N-1}(12)}{P_N(12)}$를 계산하면,$\displaystyle \frac{P_{N-1}(12)}{P_N(12)}=\frac{\frac{(N-1-a)!N!}{(M-m)!(N-1-a-M+m)!M!(N-M)!}}{\frac{(N-a)!(N-1)!}{(M-m)!(N-a-M+m)!M!(N-1-M)!}}=\frac{N(N-a-M+m)}{(N-M)(N-a)}.$

제시문 (ㄹ)에 의해, $\displaystyle P_N(12)$가 최대가 되려면, 우선 $\displaystyle \frac{N(N-a-M+m)}{(N-M)(N-a)}\le1$이어야 한다.이를 정리하면 다음의 부등식이 나온다. $\displaystyle N\le\frac{aM}m$.

$\displaystyle \frac{P_{N+1}(12)}{P_N(12)}\le1$는 위 부등식의 $\displaystyle N$에 $\displaystyle N+1$을 넣고, 부등식의 방향을 바꾼 것과 같으므로, $\displaystyle P_N(12)$가 최대가 되는 필요조건은 $\displaystyle \frac{aM}m-1\le N\le\frac{aM}m$이다.

이 조건을 만족하는 자연수는 $\displaystyle 1$개 밖에 없으므로 그 자연수가 우리가 찾는 최댓값을 주는 $\displaystyle N$이다. $\displaystyle \frac{aM}m=\frac{10000}{12}=\frac{2500}3=833.3\ldots$이므로 $\displaystyle N=833$이다.

$\displaystyle a=100,M=100,m=10$ ($\displaystyle a$는 빨간 구슬의 개수, $\displaystyle M$은 시행 횟수, $\displaystyle m$은 빨간 구슬을 꺼낸 횟수)라고 하면, $\displaystyle P_N(10)={}_M\mathrm C_m\left(\frac aN\right)^m\left(1-\frac aN\right)^{M-m}$이다.

최대가 되는 $\displaystyle N$을 찾기 위해 함수 $\displaystyle f(x)=x^m(1-x)^{M-m}$을 생각하자. 이 함수를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^{m-1}(1-x)^{M-m-1}(m-Mx)$이므로, $\displaystyle x=\frac mM$에서 최대가 된다.

$\displaystyle {}_M\mathrm C_m$은 $\displaystyle N$과 무관하므로, 최대가 되는 $\displaystyle N$은 $\displaystyle N=\frac{aM}m=1000$이다.