의예과 3번

$\displaystyle n=10$이므로 사건 $\displaystyle A,B,A\cap B$는$\displaystyle A=\{2,4,6,8,10\},\;B=\{3,6,9\},\;A\cap B=\{6\}$임을 알 수 있다.

이때 사건 $\displaystyle A,B,A\cap B$의 확률은 각각$\displaystyle \mathrm P(A)=\frac12,\;\mathrm P(B)=\frac3{10},\;\mathrm P(A\cap B)=\frac1{10}$이다.

$\displaystyle \mathrm P(A)\mathrm P(B)=\frac3{20}\ne\frac1{10}=\mathrm P(A\cap B)$이므로 두 사건 $\displaystyle A,B$는 서로 종속이다.

임의의 $\displaystyle n$에 대하여 사건 $\displaystyle A,B,A\cap B$는 각각 $\displaystyle 2$의 배수, $\displaystyle 3$의 배수, $\displaystyle 6$의 배수이고 그 사건의 원소의 개수는 각각 $\displaystyle \frac n2,\frac n3,\frac n6$를 넘지 않는 최대 정수이다.

$\displaystyle n=6k$일 때, $\displaystyle \mathrm P(A)\mathrm P(B)=\frac{3k}{6k}\frac{2k}{6k}=\frac k{6k}=\mathrm P(A\cap B)$이므로두 사건 $\displaystyle A,B$서로 독립이다.$\displaystyle n=6k+2$일 때, $\displaystyle \mathrm P(A)\mathrm P(B)=\frac{3k+1}{6k+2}\frac{2k}{6k+2}=\frac k{6k+2}=\mathrm P(A\cap B)$이므로두 사건 $\displaystyle A,B$는 서로 독립이다.$\displaystyle n=6k+4$일 때, $\displaystyle \mathrm P(A)\mathrm P(B)=\frac{3k+2}{6k+4}\frac{2k+1}{6k+4}\ne\frac k{6k+4}=\mathrm P(A\cap B)$이므로두 사건 $\displaystyle A,B$는 서로 종속이다.

두 사건 $\displaystyle A,B$서로 독립인 $\displaystyle 10$에서 $\displaystyle 100$까지의 짝수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 12,18,\cdots,96$과 $\displaystyle 14,20,\cdots,98$이다.따라서 구하는 합은 $\displaystyle 26+\cdots+194=\frac{15\times220}2=1650$이다.