의예과 2번

$\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이므로$\displaystyle f^{\prime}(n)=2n$점 $\displaystyle A$를 지나는 직선의 식은 $\displaystyle y=2nx-n^2$이고$\displaystyle a_n=n/2$가 된다.

접선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle x$축이 만나는 점을 $\displaystyle C$,원과 $\displaystyle x$축이 접하는 점을 $\displaystyle D$라고 하면$\displaystyle C$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle n/2$이므로$\displaystyle \overline{CD}=\overline{AC}=\sqrt{\frac{n^2}4+n^4}$이다.

원의 중심의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_n$과 $\displaystyle D$의 $\displaystyle x$좌표가 같으므로$\displaystyle \begin{aligned}x_n&=C\text{의 }x\text{좌표}+\overline{CD}\\&=\frac n2+\sqrt{\frac{n^2}4+n^4}=\frac{n+\sqrt{n^2+4n^4}}2\end{aligned}$

$\displaystyle \frac{x_n-4a_n^2}{a_n}=2\left(\frac{n+\sqrt{n^2+4n^4}}2-n^2\right)/n=1+\sqrt{1+4n^2}-2n$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n-4a_n^2}{a_n}=1+\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{1+4n^2}+2n}=1$