의예과 4번

$\displaystyle f^{\prime}(t)=\sin t+\cos t=\sqrt2\sin(t+\pi/4)$이고$\displaystyle f(t)=-\sqrt2\cos(t+\pi/4)+c$이다. ($\displaystyle c=\sqrt2\cos(a+\pi/4)$)

$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle t=3\pi/4$ 또는 $\displaystyle t=7\pi/4$$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}t&a&\cdots&3\pi/4&\cdots&7\pi/4&\cdots&2\pi\\\hline f^{\prime}(t)&&+&0&-&0&+&\\\hline f(t)&&\nearrow&\text{극대}&\searrow&\text{극소}&\nearrow&\end{array}$$\displaystyle 0\le a\le\frac{3\pi}4$이므로 최댓값은 $\displaystyle t=3\pi/4$ 또는 $\displaystyle t=2\pi$일 때 가능하다.$\displaystyle f(3\pi/4)=\sqrt2+c$이고$\displaystyle f(2\pi)=-\sqrt2\cos(9\pi/4)=-1+c$이므로Correction. 가운데 식의 $\displaystyle -\sqrt2\cos(9\pi/4)$ 뒤에 적분상수 $\displaystyle +c$가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle t=3\pi/4$에서 최댓값을 가진다.따라서 $\displaystyle g(a)=3\pi/4$

1) $\displaystyle \frac{3\pi}4<a<\frac{3\pi}2$일 때$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}t&a&\cdots&7\pi/4&\cdots&2\pi\\\hline f^{\prime}(t)&&-&0&+&\\\hline f(t)&&\searrow&\text{극소}&\nearrow&\end{array}$양 끝점에서의 값을 비교하면$\displaystyle f(a)=0$$\displaystyle f(2\pi)=-\sqrt2\cos(9\pi/4)=-1+c$이고 $\displaystyle c<1$이므로 $\displaystyle f(a)$가 최댓값이 된다.따라서 $\displaystyle g(a)=a$

2) $\displaystyle a=\frac{3\pi}2$일 때1)에서와 마찬가지로 양 끝점에서의 값을 비교하면$\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(2\pi)$가 최댓값으로 동일하므로$\displaystyle a$와 $\displaystyle 2\pi$중 작은 값을 택해 $\displaystyle g(a)=a$이다.

3) $\displaystyle \frac{3\pi}2<a\le2\pi$일 때1)에서와 마찬가지로 양 끝점에서의 값을 비교하면$\displaystyle f(2\pi)$에서 최댓값을 가지므로$\displaystyle g(a)=2\pi$