자연계열 3번

(ㄱ) 좌표평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치가 $\displaystyle x=e^t\cos t,\;y=e^t\sin t$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm P$가 시각 $\displaystyle 0$에서 시각 $\displaystyle t$까지 움직인 거리를 $\displaystyle s(t)$라고 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $\displaystyle s(t)$에 대하여 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 다음과 같다. (단, $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)

$\displaystyle a_n=\frac1{s(n\ln2)-s(n\ln2-\ln2)}$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 수열 $\displaystyle \{a_n\}$에 대하여, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$의 합을 $\displaystyle A$라고 하자.

$\displaystyle A=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

(ㄹ) [평면 위의 점의 이동거리] 좌표평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치가 $\displaystyle x=f(t),\;y=g(t)$로 나타내어질 때, 점 $\displaystyle \mathrm P$가 시각 $\displaystyle a$에서 시각 $\displaystyle b$까지 움직인 거리 $\displaystyle s$는 다음과 같다.

$\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$