자연계열 2번

검은 공의 개수를 $\displaystyle n$, 흰 공의 개수는 $\displaystyle 16-n$이다.주머니에서 임의로 두 개의 공을 꺼낼 때 서로 다른 색의 공이 나올 확률은$\displaystyle \frac{{}_n\mathrm C_1\times{}_{16-n}\mathrm C_1}{{}_{16}\mathrm C_2}=\frac{n\times(16-n)}{8\times15}=\frac12$

위 식을 정리하면 $\displaystyle n^2-16n+60=0,\;(n-6)(n-10)=0$

따라서 검은 공의 개수는 $\displaystyle 6$ 또는 $\displaystyle 10$이다.

같은 색이 나오는 사건은 서로 다른 색의 공이 나오는 사건의 여사건이므로논제 1에서 이용하여 서로 같은 색이 나올 확률 $\displaystyle p_n$은$\displaystyle p_n=1-\frac{{}_n\mathrm C_1\times{}_{16-n}\mathrm C_1}{{}_{16}\mathrm C_2}=1-\frac{n\times(16-n)}{8\times15}=\frac{(n-8)^2+56}{120}$이다.

따라서 $\displaystyle n=8$, 즉 검은 공의 개수가 $\displaystyle 8$개 일 때 최소가 된다.