의예과 3번

$\displaystyle A_k$의 중심이 $\displaystyle y$축 위에 있어야 하므로 $\displaystyle a_k=0$이 된다.$\displaystyle b_k=b$라고 하고 다음 연립 방정식이 중근을 가지는지 조사한다.$\displaystyle \begin{cases}y=\frac12x^2&(1)\\x^2+(y-b)^2=k^2&(2)\end{cases}$

(1)을 (2)에 대입하면$\displaystyle 2y+(y-b)^2=k^2$이 되고 $\displaystyle y$에 대하여 정리하면$\displaystyle y^2-2(b-1)y+b^2-k^2=0$이다.

중근을 가져야 하므로$\displaystyle \frac D4=(b-1)^2-(b^2-k^2)=0$에서 $\displaystyle b_k=b=\frac{k^2+1}2$이 되고 이때 $\displaystyle k>1$이므로 $\displaystyle y$는 양의 중근 $\displaystyle y=b-1$을 해로 갖게 되고 접점은 $\displaystyle (-\sqrt{2(b-1)},b-1)$과 $\displaystyle (\sqrt{2(b-1)},b-1)$이 된다.

$\displaystyle l_k=2\sqrt{2(b-1)}=2\sqrt{k^2-1}$이므로$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{l_k^2}{b_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{4(k^2-1)}{\frac{k^2+1}2}=8$이다.