의예과 4번

$\displaystyle a=A^2-2$라고 하자. ($\displaystyle a\ge-2$)$\displaystyle 4$차 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가지므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 극솟값을 가진다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(2)=0$이다.그런데, $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^3-ax^2-4x+B$이므로 $\displaystyle -4a+B=0$이다.따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^3-ax^2-4x+4a=(x+2)(x-2)(x-a)$이다.이 때 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가지기 위한 $\displaystyle a$값의 범위를 구하면 다음과 같다.

i) $\displaystyle a=-2$일 때$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 유일한 극솟값을 가지고 $\displaystyle x\le2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0,\;x\ge2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가진다.

ii) $\displaystyle -2<a<2$일 때$\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-2,\;x=2$일 때 극솟값을 가지므로 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가지기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle f(2)\le f(-2)$이다.즉, $\displaystyle \begin{aligned}f(2)-f(-2)&=\int_{-2}^2f^{\prime}(t)dt=2\int_0^2(-at^2+4a)dt\\&=\frac{32}3a\le0\end{aligned}$이므로 $\displaystyle a\le0$이다. 따라서 $\displaystyle -2<a\le0$이다.

iii) $\displaystyle a\ge2$일 때구간 $\displaystyle (-2,2)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x+2)(x-2)(x-a)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$일 때 극솟값을 가질 수 없다.따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가질 수 없다. 그러므로 $\displaystyle a$의 값은 이 범위의 어떤 값도 될 수 없다.

따라서 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 최솟값을 가지기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle -2\le a\le0$이다.

그러므로 $\displaystyle f(2)=-4+\frac{16}3a$의 범위는 $\displaystyle -\frac{44}3\le f(2)\le-4$이다.