의예과 2번

딸기 $\displaystyle 25$개의 표본의 무게를 확률변수 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_{25}$라고 하면 $\displaystyle X_i$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(20,5^2)$를 따른다. 이 때 표본평균 $\displaystyle \overline X$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(20,1)$를 따른다.

따라서 불량품이 될 확률은$\displaystyle (\text{25개 딸기 무게의 합이 }450g\text{ 이하일 확률})$$\displaystyle =\mathrm P\left(\overline X\le\frac{450}{25}\right)=\mathrm P(\overline X\le18)$$\displaystyle =\mathrm P\left(Z\le\frac{18-20}{1}\right)=\mathrm P(Z\le-2)$이고 이를 표준정규분포표를 이용하여 구하면 $\displaystyle a=0.02$이다.

딸기 $\displaystyle 2500$세트 중에서 불량품의 개수를 확률변수 $\displaystyle W$라고 하면 세트 하나가 불량일 확률이 $\displaystyle 0.02$이므로 $\displaystyle W$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(2500,0.02)$를 따른다. 또한 $\displaystyle n=2500$이 충분히 크고 $\displaystyle np=2500\times0.02=50,\;np(1-p)=49$이므로 $\displaystyle W$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(50,7^2)$를 따른다.

따라서 $\displaystyle 2500$세트에서 불량품이 $\displaystyle n$세트 이상 나올 확률을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm P(W\ge n)=\mathrm P\left(Z\ge\frac{n-50}{7}\right)$그런데 제시문 (ㄴ)의 표준정규분포표를 이용하면 $\displaystyle \mathrm P(Z\ge2.0)=0.02$이므로 $\displaystyle \frac{n-50}{7}=2.0$이다. 따라서 $\displaystyle n=64$이다.