자연계열 2번

곡선 $\displaystyle y=x\sqrt{x}$와 직선 $\displaystyle y=\frac{16}{5}$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 구해보면$\displaystyle x\sqrt{x}=\frac{16}{5}\quad\Leftrightarrow\quad x=\left(\frac{16}{5}\right)^{\frac23}=\sqrt[3]{\frac{256}{25}}<3$이므로 상수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle y=x\sqrt{x}$와 직선 $\displaystyle y=\frac{16}{5}$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표보다 오른쪽에 위치한다.따라서, 도형 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$는 다음의 그림과 같다.

한편, 도형 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$의 넓이가 서로 같으려면 $\displaystyle \int_0^a\left(x\sqrt{x}-\frac{16}{5}\right)dx=0$이어야 하므로$\displaystyle \int_0^a\left(x\sqrt{x}-\frac{16}{5}\right)dx=\frac25a\left(a^{3/2}-8\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad a=4\;\;(a>3\text{이므로})\;\;m=4$이다.

이때의 두 도형 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$의 둘레의 길이의 합 $\displaystyle l$은$\displaystyle l=(0$에서 $\displaystyle m$까지의 곡선 $\displaystyle y=x\sqrt{x}$의 길이)$\displaystyle +m+m\sqrt{m}$ 이므로,$\displaystyle l=\int_0^4\sqrt{1+\frac94x}\,dx+4+4\sqrt{4}=\frac{80}{27}\sqrt{10}+\frac{316}{27}$이다.