자연계열 1번

제시문 (ㄴ)에 따르면 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=b$에서 연속이므로,$\displaystyle f(b)=b^3+6b^2+3b+a=kb+b^3+6b^2+(3-k)b+2$이어야 하고,이를 전개하면 $\displaystyle a=2$이다.

마찬가지로, 함수의 미분가능 조건에 의해$\displaystyle f^{\prime}(b)=3b^2+12b+3=k$이어야 하고, $\displaystyle k=3(b+2)^2-9$임을 확인할 수 있다.함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x\leq b$에서 최고차항이 $\displaystyle 1$인 삼차함수이고, $\displaystyle x>b$에서 기울기가 $\displaystyle k$인 직선이다.이 때 삼차함수의 개형에 따르면 기울기 $\displaystyle k$가 음수이어야 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$가 오직 하나이다.

따라서 $\displaystyle k=3(b+2)^2-9$이고 $\displaystyle b$가 실수이므로 $\displaystyle k=-1,-2,\cdots,-8,-9$가 가능한 $\displaystyle k$의 범위이다.이를 만족하는 $\displaystyle b$ 값은 $\displaystyle k=-1,-2,\cdots,-8$일 때 두 개, $\displaystyle k=-9$일 때 한 개 존재하므로가능한 함수의 개수는 $\displaystyle 17$이다.