자연계열 3번

원 $\displaystyle P_1,\cdots,P_{10}$의 반지름은 모두 $\displaystyle 1$로 동일한 형태의 원이다. 따라서 서로 다른 두 원 $\displaystyle P_n$과 $\displaystyle P_m$의 내부를 색칠하여 넓이가 줄어들기 위해서는 $\displaystyle n,m$이 연속된 두 자연수이어야 한다. 각 원의 넓이는 $\displaystyle \pi$이고, $\displaystyle P_1$과 $\displaystyle P_2$의 내부가 겹친 부분의 넓이를 $\displaystyle b$라고 하자. 이 때, 제시문 (ㄴ)의 선택에서 연속된 두 자연수 쌍의 조합이 $\displaystyle k$번 나올 경우, 총 넓이 $\displaystyle M$은 $\displaystyle 6\pi-kb$가 된다. 열 개의 원 중 여섯 개를 택하는 문제이므로, 최대 다섯 번, 최소 한 번 연속된 자연수 쌍이 나온다.따라서 $\displaystyle M=6\pi-b,6\pi-2b,6\pi-3b,6\pi-4b,6\pi-5b$이고, $\displaystyle a=6\pi-4b$가 된다.

$\displaystyle b$의 값을 구하자. $\displaystyle P_1$의 중심은 $\displaystyle \mathrm{O}(1,0)$이고, $\displaystyle P_2$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{Q}(2,0)$, 그리고 $\displaystyle P_1$과 $\displaystyle P_2$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right),\mathrm{B}\left(\frac32,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$이라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}$이고 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi3$이므로 $\displaystyle b=2\left(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{4}\right)$이다.따라서 $\displaystyle a=6\pi-4b=6\pi-8\left(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{4}\right)=\frac{10}{3}\pi+2\sqrt3$이다.

$\displaystyle M=a$가 되기 위해서는 여섯 개의 원 중 단 한 번만 연속적이지 않은 자연수가 나타나야 한다.연속된 자연수를 갖는 원들을 그룹이라 하면 여섯 개의 원은 총 두 그룹 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$로 분류되며,각 그룹의 원소의 개수의 조합은 $\displaystyle (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$로 총 $\displaystyle 5$종 가지이다.

예를 들어, $\displaystyle P_1,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7$인 경우는 $\displaystyle A$가 $\displaystyle P_1$, $\displaystyle B$가 $\displaystyle P_3,P_4,P_5,P_6,P_7$가 되어 $\displaystyle (1,5)$인 경우이다.$\displaystyle (1,5)$인 경우는 이 외에 $\displaystyle B$가 $\displaystyle P_4$부터 $\displaystyle P_8$까지 선택할 수도 있으므로, 각 그룹은 서로 연속이 되지 않는 한 오른쪽의 원을 대신 선택할 수 있다. 이 때, $\displaystyle A$ 그룹의 맨 왼쪽 원의 번호를 $\displaystyle n$이라 하고 $\displaystyle B$ 그룹의 맨 왼쪽 원 번호를 $\displaystyle m$이라 하면 $\displaystyle (n,m-1)$은 $\displaystyle n<m-1$이고 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle 5$까지의 번호 중 임의의 순서쌍이 된다. 따라서 두 그룹을 위치시키는 경우의 수는 $\displaystyle {}_5\mathrm{C}_2$로 $\displaystyle 10$가지가 된다.

이는 원소의 개수의 조합마다 모두 동일하므로, 넓이가 $\displaystyle a$가 되는 모든 경우의 수는 $\displaystyle 5\times10=50$가지이다.