수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 4번

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문제

(다) 연료전지를 발전장치로 간주할 때, 그 가장 중요한 장점은 원리적으로 에너지 변환효율(열효율)이 높다는 점이다. 화력발전에서는 연료의 화학 에너지를 일단 열의 형태로 보일러에 공급하고, 보일러에서 발생하는 증기에 의해서 터빈을 가동하여 전기 에너지를 만들어 낸다. 이러한 화력발전의 열효율은 현재 40~50% 정도에 머물고 있다. 이에 비하면 연료전지에서는 화학 에너지를 열의 형태로 변환하지 않고 직접 전기 에너지로 변환하므로 이론적인 열효율이 높다.

연료전지의 또 하나 중요한 장점은 환경 적합성이다. 연료와 공기를 공급하기 위한 송풍기 이외에는 터빈과 같은 회전기를 필요로 하지 않으므로 소음과 진동이 적다. 또한 수소를 연료로 사용하면 배출되는 것은 물 뿐이며 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2와 같은 지구 온난화 가스가 발생하지 않는다. 연료전지가 청정 발전장치로 평가 받는 이유도 바로 이 때문이다.

하지만 이 평가에 대해서는 좀 더 신중하게 생각할 필요가 있다. 연료전지의 연료로 사용되는 수소는 지구에 매장되어 있는 것이 아니다. 수소는 주로 석유나 천연가스의 부분 연소 반응으로 만들어지는데, 그 과정에서도 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2가 배출된다. 따라서 지구 전체 환경의 차원에서 보면 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2를 배출하는 과정을 통해 만들어진 수소를 원료로 사용하는 연료전지는 결과적으로 화력발전과 마찬가지로 지구 온난화 가스를 배출하는 셈이다. 다만 효율이 문제가 된다. 예를 들어, 메탄을 연료로 하는 화력 발전의 현실적 효율을 40%라고 하면, 전력 에너지 1kWh당 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2 배출량은 약 490g이다. 한편, 메탄으로 만들어지는 수소를 연료로 하는 연료전지의 효율이 이론상 최대값인 95%라면 전력 에너지 1kWh를 생산하기 위해 연료전지를 사용하면 약 340g의 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2가 배출된다. 그러나 이와 같은 이론적인 최대 효율을 얻는 것은 불가능하다. 만약 연료전지의 효율이 60%라 하면, 전력 에너지 1kWh당 약 540g의 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2가 배출된다. 즉, 연료전지의 효율이 낮으면, 같은 양의 전력을 생산하기 위하여 더 많은 수소 원료가 필요하고, 따라서 수소를 생산하는 과정에서 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2 배출량이 증가하게 된다.

[문제 4] 어느 지역에 A라는 화력발전소와 B라는 연료전지 발전소가 있다. 실제로 생산하는 전력량 1 kWh의 생산원가는 A의 경우 60원이고, B의 경우 75원이다. A의 효율은 40%로 제시문 (다)에 의하면 전력량 1 kWh당 약 490g의 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2가 발생한다. 또한 B의 효율은 83%로 전력량 1 kWh당 약 390g의 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2가 발생한다. 이때 발생한 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2에 대하여는 아래 표와 같이 세금이 부과된다고 하자. 생산비용을 생산원가와 세금의 합이라고 할 때, 이 지역에서 1,000 kWh의 전기를 생산하는 비용을 최소화하려면 A와 B에서 각각 얼마의 전기를 생산해야 하는지에 대하여 논술하시오. [20점, 답지 24줄 이내]

CO2\mathrm{CO}_2 총 발생량(kg)세금(원)
100이하0
100초과 200이하15,000
200초과 300이하30,000
300초과 400이하45,000
400초과 500이하60,000
500초과 600이하75,000
⋮⋮
해설강의 준비중

함수의 최대·최소

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A\displaystyle A의 전력생산량을 x\displaystyle x라고 하면 B\displaystyle B의 전력생산량은 (1000−x)\displaystyle (1000-x)이며,

총 생산비용’ = ‘생산원가+환경부담금’이다.

1000kWh의 전기 생산원가는 60x+75(1000−x)=75000−15x\displaystyle 60x+75(1000-x)=75000-15x이고, 생산원가는 60,000원에서 75,000원 사이의 값을 갖는다.

CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2발생량은 0.490x+0.390(1000−x)=390+0.1x\displaystyle 0.490x+0.390(1000-x)=390+0.1x이고 범위는 390~490이며, CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2발생량이 증가할수록 세금의 증가가 생산원가의 하락보다 크므로 CO2\displaystyle \mathrm{CO}_2발생량은 400을 유지하는 것이 가장 좋다. 즉, 390+0.1x=400\displaystyle 390+0.1x=400으로부터 x=100\displaystyle x=100이면 환경부담금이 45,000원, x>100\displaystyle x>100이면 환경부담금이 60,000원이며, 생산원가를 동시에 고려하여야 하므로 x=100\displaystyle x=100일 때 즉, A\displaystyle A에서 100kWh, B\displaystyle B에서 900kWh를 생산할 때 총 생산비용은 73,500+45,000=118,500원으로 최소가 된다.

[참고로 x=500\displaystyle x=500일 때 총 생산비용은 118,750원, x=0\displaystyle x=0 또는 x=1000\displaystyle x=1000일 때 총 생산비용은 120,000원이다.]Correction. 한국대학교육협의회가 발간한 『논술교육길라잡이Ⅲ·자연계열』의 예시답안에는 x=500\displaystyle x=500일 때 총 생산비용이 118,750원으로 적혀 있다. 이때 생산원가는 67,500원이고 세금은 60,000원이므로 총 생산비용은 127,500원이 맞다. 해당 자료의 표기를 그대로 실었다.

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