자연계열 I 5번

(다) 플럭스란 단위 시간동안 단위 면적을 통과하는 흐름의 양을 가리키는 용어로서 액체나 기체와 같은 유체(fluid), 전하(electric charge)와 같은 입자, 물체에서 복사된 에너지 등이 흐르는 정도를 나타낸다. 플럭스와 함께 사용되는 유용한 개념으로 입체각이 있는데, 이는 평면에서 정의되는 각이 3차원으로 확장된 것이다. 다음 그림 (1)과 같이 공간상의 한 점 O에서 바라보는 임의의 물체를, 점 O를 중심으로 하는 반경 1인 단위구의 표면에 투사시킨 면적이 입체각이다. 입체각의 단위로는 스테라디안(steradian, sr)을 사용하며, 그 최댓값은 단위 구의 표면적에 해당하는 $\displaystyle 4\pi$(단위: sr)이다. 물체를 바라보는 입체각은 관측자와 그 물체 사이 거리의 제곱에 반비례하여 줄어든다.

예를 들어, 지구에서 보았을 때 태양과 달이 거의 같은 크기로 보이는 것은 태양과 달의 입체각이 거의 같기 때문이다. 복사 에너지를 플럭스로 나타내는 경우, 동일한 입체각으로 발산되는 플럭스의 합은 거리와 상관없이 일정하게 유지된다. 입체각의 크기가 매우 작을 경우 입체각 $\displaystyle \alpha$는 식 (1)과 같이 근사적으로 표현된다. 식 (1)에서 A는 물체의 면적, D는 관측자와 물체 사이의 거리이다.

$\displaystyle \alpha\approx\frac A{D^2}\qquad(1)$

(마) X선 영상장비는 주로 의료용으로 사용되지만, 물체 내부의 비정상적인 부분을 찾아내는 비파괴검사의 용도로 사용되기도 한다. X선 영상장비로 특정 부분의 위치를 파악하는 첫 과정은 X선 발생지점과 영상판 사이의 위치 관계를 계산하는 것이다. 영상판에 투사된 영상으로부터 X선 발생지점을 계산하기 위해 그림 (2)와 같이 변의 길이가 m인 정사각형 형태의 보정장비를 사용한다. 보정장비의 네 꼭지점 $\displaystyle (a,b,c,d)$에는 작은 쇠구슬이 있어서, 보정장비의 X선 영상을 영상판에서 얻으면 각 꼭지점에 해당하는 네 점의 위치를 측정할 수 있다. 그림 (2)에서 X선 발생지점과 네 꼭지점은 동일한 평면에 있으며, 보정장비가 놓인 지점의 좌표계는 $\displaystyle xy$, 영상판이 놓인 지점의 좌표계는 $\displaystyle x^{\prime}y^{\prime}$이고, $\displaystyle a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime},d^{\prime}$는 꼭짓점 $\displaystyle a,b,c,d$가 영상판에 투사된 $\displaystyle y^{\prime}$축 좌표이다.

c가 xy좌표계의 원점일 때, $\displaystyle y^{\prime}$축 위에 있는 $\displaystyle c^{\prime},d^{\prime}$와 y축 위에 있는 c, d의 위치를 이용하여 y축 좌표와 $\displaystyle y^{\prime}$축 좌표 사이의 관계식을 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle y^{\prime}=\frac{d^{\prime}-c^{\prime}}m y+c^{\prime}\qquad(3)$

식 (3)을 역으로 이용하면, a와 b가 y축 위에 가상적으로 투사된 점인 $\displaystyle a^{\prime\prime}$와 $\displaystyle b^{\prime\prime}$의 y축 좌표를 식 (4)와 같이 얻는다.

$\displaystyle a^{\prime\prime}=\frac m{d^{\prime}-c^{\prime}}(a^{\prime}-c^{\prime}),\quad b^{\prime\prime}=\frac m{d^{\prime}-c^{\prime}}(b^{\prime}-c^{\prime})\quad(4)$