수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 I 6번

중앙대 2011학년도 수시 2차 자연계열 I 6번 · mathesis.kr/archive/cau/2011su/jayeon1_6

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문제

(마) X선 영상장비는 주로 의료용으로 사용되지만, 물체 내부의 비정상적인 부분을 찾아내는 비파괴검사의 용도로 사용되기도 한다. X선 영상장비로 특정 부분의 위치를 파악하는 첫 과정은 X선 발생지점과 영상판 사이의 위치 관계를 계산하는 것이다. 영상판에 투사된 영상으로부터 X선 발생지점을 계산하기 위해 그림 (2)와 같이 변의 길이가 m인 정사각형 형태의 보정장비를 사용한다. 보정장비의 네 꼭지점 (a,b,c,d)\displaystyle (a,b,c,d)에는 작은 쇠구슬이 있어서, 보정장비의 X선 영상을 영상판에서 얻으면 각 꼭지점에 해당하는 네 점의 위치를 측정할 수 있다. 그림 (2)에서 X선 발생지점과 네 꼭지점은 동일한 평면에 있으며, 보정장비가 놓인 지점의 좌표계는 xy\displaystyle xy, 영상판이 놓인 지점의 좌표계는 x′y′\displaystyle x^{\prime}y^{\prime}이고, a′,b′,c′,d′\displaystyle a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime},d^{\prime}는 꼭짓점 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d가 영상판에 투사된 y′\displaystyle y^{\prime}축 좌표이다.

X선 발생지점과 정사각형 보정장비 및 영상판

c가 xy좌표계의 원점일 때, y′\displaystyle y^{\prime}축 위에 있는 c′,d′\displaystyle c^{\prime},d^{\prime}와 y축 위에 있는 c, d의 위치를 이용하여 y축 좌표와 y′\displaystyle y^{\prime}축 좌표 사이의 관계식을 구하면 다음과 같다.

y′=d′−c′my+c′(3)\displaystyle y^{\prime}=\frac{d^{\prime}-c^{\prime}}m y+c^{\prime}\qquad(3)

식 (3)을 역으로 이용하면, a와 b가 y축 위에 가상적으로 투사된 점인 a′′\displaystyle a^{\prime\prime}와 b′′\displaystyle b^{\prime\prime}의 y축 좌표를 식 (4)와 같이 얻는다.

a′′=md′−c′(a′−c′),b′′=md′−c′(b′−c′)(4)\displaystyle a^{\prime\prime}=\frac m{d^{\prime}-c^{\prime}}(a^{\prime}-c^{\prime}),\quad b^{\prime\prime}=\frac m{d^{\prime}-c^{\prime}}(b^{\prime}-c^{\prime})\quad(4)

[문제 6] 제시문 (마)에서 c를 원점으로 하여 X선 발생지점의 좌표를 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [15점]

해설강의 준비중

직선의 방정식

관련 개념강의 준비중

중앙대 2011학년도 수시 2차 자연계열 I 6번 · mathesis.kr/archive/cau/2011su/jayeon1_6

+4점 · 두 직선의 교점

X선 발생지점과 보정장비가 이루는 평면 위에서, a와 a′′\displaystyle a^{\prime\prime}를 연결하는 직선과 b와 b′′\displaystyle b^{\prime\prime}를 연결하는 직선이 만나는 점이 X선 발생지점이다.

그림(2)에 의하면, a의 좌표는 (−m,m)\displaystyle (-m,m), a′′\displaystyle a^{\prime\prime}의 좌표는 (0,md′−c′(a′−c′))\displaystyle \left(0,\frac m{d^{\prime}-c^{\prime}}(a^{\prime}-c^{\prime})\right)이고, b의 좌표는 (−m,0)\displaystyle (-m,0), b′′\displaystyle b^{\prime\prime}의 좌표는 (0,md′−c′(b′−c′))\displaystyle \left(0,\frac m{d^{\prime}-c^{\prime}}(b^{\prime}-c^{\prime})\right)이다.

+6점 · 두 직선의 방정식

p=a′−c′d′−c′, q=b′−c′d′−c′\displaystyle p=\frac{a^{\prime}-c^{\prime}}{d^{\prime}-c^{\prime}},\ q=\frac{b^{\prime}-c^{\prime}}{d^{\prime}-c^{\prime}}라고 하면 a와 a′′\displaystyle a^{\prime\prime}를 연결하는 직선의 식은 다음과 같다.

y=m−mp−m−0(x+m)+m=(p−1)(x+m)+m=(p−1)x+pm\displaystyle \begin{aligned}y&=\frac{m-mp}{-m-0}(x+m)+m\\&=(p-1)(x+m)+m=(p-1)x+pm\end{aligned}

b와 b′′\displaystyle b^{\prime\prime}를 연결하는 직선의 식은 다음과 같다.

y=0−mq−m−0(x+m)=qx+qm\displaystyle y=\frac{0-mq}{-m-0}(x+m)=qx+qm

+5점 · 발생지점의 좌표

p, q에 원래 값을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

(xy)=(−(a′−b′)ma′−b′+c′−d′−(b′−c′)ma′−b′+c′−d′)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{-(a^{\prime}-b^{\prime})m}{a^{\prime}-b^{\prime}+c^{\prime}-d^{\prime}}\\[6pt]\frac{-(b^{\prime}-c^{\prime})m}{a^{\prime}-b^{\prime}+c^{\prime}-d^{\prime}}\end{pmatrix}

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