자연계열 I 2-1번

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_2_1

[문제 2] 다음 제시문 (가)~(다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 다항식 $\displaystyle A$ 를 다항식 $\displaystyle B\ (B\ne0)$ 로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle Q$ , 나머지를 $\displaystyle R$ 이라 하면 $\displaystyle A=BQ+R$ (단, $\displaystyle R$ 의 차수는 $\displaystyle B$ 의 차수보다 낮다.)의 꼴로 나타낼 수 있다.

(나) $\displaystyle x$ 에 대한 두 다항식 $\displaystyle f(x),g(x)$ (단, $\displaystyle g(x)\ne0$ )에 대해 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 의 꼴로 나타내어지는 식을 유리식이라 한다. 특히, $\displaystyle g(x)=1$ 이면 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 는 다항식이다. 예를 들어, 아래의 식은 모두 유리식이다. $\displaystyle \frac{5x-2}{2x^2-3x+4},\quad\frac{2x^3+3}{-2x^2+5x+3},\quad2x^3+5x^2-8$

(다) $\displaystyle C\ne D$ 일 때, $\displaystyle \frac1{CD}=\frac1{D-C}(\frac1C-\frac1D)$ 이 성립한다.

[문제 2-1] 다항식 $\displaystyle x^{10}+x^9+x^8+\cdots+x^2+x+1$ 을 $\displaystyle (x+1)^3$ 으로 나눈 나머지를 $\displaystyle a(x+1)^2+b(x+1)+c$ 라 할 때, 계수 $\displaystyle a,b,c$ 를 각각 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

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수학 문제 2-1 예시 답안

● $\displaystyle f(x)=(x+1)^3Q(x)+a(x+1)^2+b(x+1)+c$ 라 하고 $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x),h(x)=g^{\prime}(x)$ 라 하자.

● $\displaystyle x=-1$ 을 대입하여 $\displaystyle f(-1)=c,g(-1)=b,h(-1)=2a$ 를 얻는다.

● 한편, $\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=x^{10}+x^9+x^8+\cdots+x^2+x^1+1\\g(x)&=10x^9+9x^8+8x^7+\cdots+2x+1\\h(x)&=10\cdot9x^8+9\cdot8x^7+8\cdot7x^6+\cdots+4\cdot3x^2+3\cdot2x+2\end{aligned}$

+2점 · [2-1]

\displaystyle c

를 계산하면 +3점 · [2-1]

\displaystyle b

를 계산하면 +5점 · [2-1]

\displaystyle a

를 계산하면

● $\displaystyle \begin{aligned}c&=f(-1)=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+1=1\\b&=g(-1)=(-10+9)+(-8+7)+(-6+5)+(-4+3)+(-2+1)=-5\\2a&=h(-1)=(10\cdot9-9\cdot8)+(8\cdot7-7\cdot6)+(6\cdot5-5\cdot4)+(4\cdot3-3\cdot2)+2\\&=18+14+10+6+2=50\end{aligned}$

● 따라서 $\displaystyle a=25,b=-5,c=1$ 이다.

[2-1] ※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

[2-1] ※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 10점 이내에서 −0.5~+0.5점 추가 점수 부여 가능함.

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