자연계열 I 1번

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_1

[문제 1] 공과 주사위를 이용하여 상금이 결정되는 게임이 있다. 바구니 안에 1~6까지 번호가 하나씩 적혀 있는 6개의 공이 들어 있다. 이 바구니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낸 후, 주사위를 던져서 4 이하의 눈이 나오면 꺼낸 공의 번호에 1000원을 곱한 금액을 상금으로 받으며, 주사위를 던져서 5 또는 6의 눈이 나오면 바구니에서 꺼낸 공의 번호에 관계없이 2000원을 상금으로 받는다. 특별히 주사위의 눈이 공의 번호와 일치할 경우, 상금은 두 배가 된다. 이 게임에서 상금의 기댓값을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_1

+5점 · A. 확률 및 기댓값에 대한 개념적 이해가 있다고 판단된다: i. 36가지의 사건과 적절한 확률값(1/36)을 연관시킨다: 3점 ii. 관련 상금을 곱하는 시도를 한다: 2점

+10점 · B. 특별상금을 제외한 기본 상금에 대한 기댓값을 정확히 계산: i. 주사위의 눈 1~4에 대하여 각각 1000원씩 곱하여 상금 계산: 3점 ii. 5 또는 6일 때는 2000원으로 상금 계산: 3점 iii. 위의 상금들을 관련확률(1/36)과 곱하여 기댓값을 계산: 4점

● 바구니에서 $\displaystyle i$ 번이 적힌 공을 꺼내고 주사위가 1~4의 눈이 나오면 상금은 $\displaystyle 1000×i$ 원이고, 주사위의 눈이 5 또는 6이면 2000원이므로, 특별 상금을 제외한 기대상금( $\displaystyle x$ )은 다음과 같다. $\displaystyle x=\sum_{i=1}^6\frac16\left(\frac46×1,000i+\frac26×2,000\right)=\frac{4,000}{36}\sum_{i=1}^6(i+1)=\frac{4,000}{36}\left(\frac{56}2-1\right)=\frac{108,000}{36}$ (원)

+5점 · C. 특별상금에 대한 기댓값을 정확히 계산: i. 특별상금을 기본 상금의 2배로 계산: 2점 ii. 적절한 확률(1/36)을 곱하여 계산: 3점

● 특별 상금은 각각 1/36의 확률로 공의번호가 $\displaystyle i\ (1\le i\le4)$ 번의 경우 $\displaystyle 1000×i$ 원이 추가되고, 공의번호가 5번 또는 6번일 경우 2,000원이 추가로 주어진다. 따라서 특별 상금의 기댓값( $\displaystyle y$ )은 다음과 같다. $\displaystyle y=\left(\sum_{i=1}^4\frac{1000i}{36}\right)+\frac{4,000}{36}=\frac{14,000}{36}$ (원)

● 따라서, 총 상금의 기댓값( $\displaystyle z$ )은, $\displaystyle z=x+y=\frac{108,000}{36}+\frac{14,000}{36}=\frac{122,000}{36}=\frac{30,500}9$ (원)

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 −0.5~+0.5점 추가 점수 부여 가능함.

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