수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 I 2번

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_2

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[문제 2] 다음 제시문 (가)~(다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 다항식 A\displaystyle A를 다항식 B (B≠0)\displaystyle B\ (B\ne0)로 나누었을 때의 몫을 Q\displaystyle Q, 나머지를 R\displaystyle R이라 하면 A=BQ+R\displaystyle A=BQ+R (단, R\displaystyle R의 차수는 B\displaystyle B의 차수보다 낮다.)의 꼴로 나타낼 수 있다.

(나) x\displaystyle x에 대한 두 다항식 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x) (단, g(x)≠0\displaystyle g(x)\ne0)에 대해 f(x)g(x)\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}의 꼴로 나타내어지는 식을 유리식이라 한다. 특히, g(x)=1\displaystyle g(x)=1이면 f(x)g(x)\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}는 다항식이다. 예를 들어, 아래의 식은 모두 유리식이다.5x−22x2−3x+4,2x3+3−2x2+5x+3,2x3+5x2−8\displaystyle \frac{5x-2}{2x^2-3x+4},\quad\frac{2x^3+3}{-2x^2+5x+3},\quad2x^3+5x^2-8

(다) C≠D\displaystyle C\ne D일 때, 1CD=1D−C(1C−1D)\displaystyle \frac1{CD}=\frac1{D-C}(\frac1C-\frac1D)이 성립한다.

[문제 2-1] 다항식 x10+x9+x8+⋯+x2+x+1\displaystyle x^{10}+x^9+x^8+\cdots+x^2+x+1을 (x+1)3\displaystyle (x+1)^3으로 나눈 나머지를 a(x+1)2+b(x+1)+c\displaystyle a(x+1)^2+b(x+1)+c라 할 때, 계수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 각각 구하시오. [10점]

[문제 2-2] ∫10x+px2(x+1)2 dx\displaystyle \int\frac{10x+p}{x^2(x+1)^2}\,dx가 x\displaystyle x에 대한 유리식이 되도록 상수 p\displaystyle p를 정하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_2

수학 문제 2-1 예시 답안

● f(x)=(x+1)3Q(x)+a(x+1)2+b(x+1)+c\displaystyle f(x)=(x+1)^3Q(x)+a(x+1)^2+b(x+1)+c라 하고 g(x)=f′(x),h(x)=g′(x)\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x),h(x)=g^{\prime}(x)라 하자.

● x=−1\displaystyle x=-1을 대입하여 f(−1)=c,g(−1)=b,h(−1)=2a\displaystyle f(-1)=c,g(-1)=b,h(-1)=2a를 얻는다.

● 한편,f(x)=x10+x9+x8+⋯+x2+x1+1g(x)=10x9+9x8+8x7+⋯+2x+1h(x)=10⋅9x8+9⋅8x7+8⋅7x6+⋯+4⋅3x2+3⋅2x+2\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=x^{10}+x^9+x^8+\cdots+x^2+x^1+1\\g(x)&=10x^9+9x^8+8x^7+\cdots+2x+1\\h(x)&=10\cdot9x^8+9\cdot8x^7+8\cdot7x^6+\cdots+4\cdot3x^2+3\cdot2x+2\end{aligned}

+2점 · [2-1] c\displaystyle c를 계산하면 +3점 · [2-1] b\displaystyle b를 계산하면 +5점 · [2-1] a\displaystyle a를 계산하면

● c=f(−1)=(1−1)+(1−1)+(1−1)+(1−1)+(1−1)+1=1b=g(−1)=(−10+9)+(−8+7)+(−6+5)+(−4+3)+(−2+1)=−52a=h(−1)=(10⋅9−9⋅8)+(8⋅7−7⋅6)+(6⋅5−5⋅4)+(4⋅3−3⋅2)+2=18+14+10+6+2=50\displaystyle \begin{aligned}c&=f(-1)=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+1=1\\b&=g(-1)=(-10+9)+(-8+7)+(-6+5)+(-4+3)+(-2+1)=-5\\2a&=h(-1)=(10\cdot9-9\cdot8)+(8\cdot7-7\cdot6)+(6\cdot5-5\cdot4)+(4\cdot3-3\cdot2)+2\\&=18+14+10+6+2=50\end{aligned}

● 따라서 a=25,b=−5,c=1\displaystyle a=25,b=-5,c=1이다.

수학 문제 2-2 예시 답안

+2점 · [2-2] 1x(x+1)=1x−1x+1\displaystyle \frac1{x(x+1)}=\frac1x-\frac1{x+1}를 계산하면

● 1x(x+1)=1x−1x+1\displaystyle \frac1{x(x+1)}=\frac1x-\frac1{x+1}

+3점 · [2-2] 1x2(x+1)2=1x2−2x+1(x+1)2+2x+1\displaystyle \frac1{x^2(x+1)^2}=\frac1{x^2}-\frac2x+\frac1{(x+1)^2}+\frac2{x+1}를 계산하면

● 1x2(x+1)2=(1x−1x+1)2=1x2+1(x+1)2−2x(x+1)=1x2−2x+1(x+1)2+2x+1\displaystyle \frac1{x^2(x+1)^2}=\left(\frac1x-\frac1{x+1}\right)^2=\frac1{x^2}+\frac1{(x+1)^2}-\frac2{x(x+1)}=\frac1{x^2}-\frac2x+\frac1{(x+1)^2}+\frac2{x+1}

+3점 · [2-2] 10x+px2(x+1)2=px2+10−2px+p−10(x+1)2+2p−10x+1\displaystyle \frac{10x+p}{x^2(x+1)^2}=\frac p{x^2}+\frac{10-2p}x+\frac{p-10}{(x+1)^2}+\frac{2p-10}{x+1}를 계산하면

● 10x+px2(x+1)2=(10x+p)(1x2−2x)+(10(x+1)+(p−10))(1(x+1)2+2x+1)=px2+10−2px+p−10(x+1)2+2p−10x+1\displaystyle \begin{aligned}\frac{10x+p}{x^2(x+1)^2}&=(10x+p)\left(\frac1{x^2}-\frac2x\right)+(10(x+1)+(p-10))\left(\frac1{(x+1)^2}+\frac2{x+1}\right)\\&=\frac p{x^2}+\frac{10-2p}x+\frac{p-10}{(x+1)^2}+\frac{2p-10}{x+1}\end{aligned}

+2점 · [2-2] p=5\displaystyle p=5를 계산하면

● 따라서 ∫10x+px2(x+1)2 dx\displaystyle \int\frac{10x+p}{x^2(x+1)^2}\,dx가 x\displaystyle x에 대한 유리식으로 주어지려면 10−2p=2p−10=0\displaystyle 10-2p=2p-10=0이어야 한다. 즉, p=5\displaystyle p=5이다.

[2-1] ※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

[2-1] ※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 10점 이내에서 −0.5~+0.5점 추가 점수 부여 가능함.

[2-2] ※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

[2-2] ※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 10점 이내에서 −0.5~+0.5점 추가 점수 부여 가능함.

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