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자연계열 I 2-1번

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중앙대 2016학년도 수시 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon1_2_1

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[문제 2] 다음 제시문 (가), (나), (다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 미분가능한 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)에 대하여 다음과 같은 부분 적분 공식이 성립한다.∫f′(x)g(x) dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x) dx\displaystyle \int f^{\prime}(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime}(x)\,dx예를 들어, f′(x)=ex,g(x)=sin⁡x\displaystyle f^{\prime}(x)=e^x,g(x)=\sin x이면,∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−∫excos⁡x dx=ex(sin⁡x−cos⁡x)−∫exsin⁡x dx\displaystyle \int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x(\sin x-\cos x)-\int e^x\sin x\,dx이므로,∫exsin⁡x dx=12ex(sin⁡x−cos⁡x)+C\displaystyle \int e^x\sin x\,dx=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C를 얻는다. 단, C\displaystyle C는 적분상수이다.

(나) 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 y\displaystyle y축에 대하여 대칭인 경우 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(−x)=f(x)\displaystyle f(-x)=f(x)를 만족하고, 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 원점에 대하여 대칭인 경우 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x)를 만족한다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,ddx∫axf(t) dt=f(x) (a<x<b)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\ (a<x<b)가 성립한다.

[문제 2-1] 연속 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)+f(π−x)=(eπ2−x+ex−π2)sin⁡x\displaystyle f(x)+f(\pi-x)=(e^{\frac\pi2-x}+e^{x-\frac\pi2})\sin x를 만족할 때, ∫π43π4f(x) dx\displaystyle \int_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4}f(x)\,dx를 계산하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon1_2_1

문제 2-1 예시 답안

+4점 · [2-1] 치환 적분과 주어진 식 f(x)+f(π−x)=(eπ2−x+ex−π2)sin⁡x\displaystyle f(x)+f(\pi-x)=(e^{\frac\pi2-x}+e^{x-\frac\pi2})\sin x를 이용하여 (*)를 얻으면

주어진 적분식에 치환적분 (x=π−t\displaystyle x=\pi-t)을 이용하면∫π43π4f(x) dx=∫π4π2f(x) dx+∫π23π4f(x) dx=∫π4π2f(x) dx−∫π2π4f(π−t) dt=∫π4π2(f(x)+(f(π−x)) dx=∫π4π2(eπ2−x+ex−π2)sin⁡x dx⋯(∗)\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4}f(x)\,dx&=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\,dx+\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}4}f(x)\,dx=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\,dx-\int_{\frac\pi2}^{\frac\pi4}f(\pi-t)\,dt\\&=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(f(x)+(f(\pi-x))\,dx=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(e^{\frac\pi2-x}+e^{x-\frac\pi2})\sin x\,dx\quad\cdots(*)\end{aligned}를 얻는다.π2−x=t\displaystyle \frac\pi2-x=t라 두면 적분식 (*)는 ∫0π4(et+e−t)cos⁡t dt\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt가 된다.

+6점 · [2-1] 부분 적분 공식을 사용하여 최종적으로 12eπ4\displaystyle \frac1{\sqrt2}e^{\frac\pi4} 답을 얻으면

제시문 (가)의 부분적분 공식의 보기와 유사한 방법을 적용해서I=∫0π4(et+e−t)cos⁡t dt=[(et−e−t)cos⁡t]0π4+∫0π4(et−e−t)sin⁡t dt=[(et−e−t)cos⁡t+(et+e−t)sin⁡t]0π4−∫0π4(et+e−t)cos⁡t dt=[(et−e−t)cos⁡t+(et+e−t)sin⁡t]0π4−I\displaystyle \begin{aligned}I&=\int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt=\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t\Biggr]_0^{\frac\pi4}+\int_0^{\frac\pi4}(e^t-e^{-t})\sin t\,dt\\&=\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t+(e^t+e^{-t})\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt=\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t+(e^t+e^{-t})\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}-I\end{aligned}그러므로, I=∫0π4(et+e−t)cos⁡t dt=12[(et−e−t)cos⁡t+(et+e−t)sin⁡t]0π4=12eπ4\displaystyle I=\int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt=\frac12\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t+(e^t+e^{-t})\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}=\frac1{\sqrt2}e^{\frac\pi4}

[2-1] 계산 방법은 알고 있으나 계산 실수를 통해 오답을 도출한 경우 3점 감점

[2-1] ▶ 적분 계산 과정을 상세히 체크함으로써 논리적인 오류가 없는지 체크하는 것이 필요함

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