자연계열 I 1번

(1) 6번 시행 후, −1과 1 사이에서만 머물러 있기 위해서는 우선 왼쪽으로 간 횟수($\displaystyle x$)와 오른쪽으로 간 횟수($\displaystyle y$)가 같아야 한다. 즉, $\displaystyle x=y=3$. 다른 경우는 −1과 1 사이에만 머물러 있을 수 없다. 이것의 확률은,$\displaystyle {}_6\mathrm C_3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^3=\frac5{16}$

(2) $\displaystyle x=y=3$라고 하더라도, −1과 1 사이에서만 머물기 위해서는, 짝수 번째 시행에서 항상 원점으로 돌아와야 한다. 이것의 경우의 수는 세 쌍의 (1, −1)을 나열하는 방법의 수와 같다. 따라서, $\displaystyle x=y=3$일 때 −1과 1 사이에 머물기 위한 확률은, (1, 1, 1, −1, −1, −1)을 배열하는 경우의 수에서 세 쌍의 (1, −1)을 나열하는 경우의 수의 비율이다,$\displaystyle \frac{2\times2\times2}{6!/(3!3!)}=\frac25$

(3) 이상에서, 두 개의 사건 A와 B를 다음과 같이 정의하면, 관심 있는 사건은 $\displaystyle \mathrm A\cap\mathrm B$이다.• A : 6번 시행 후, $\displaystyle x=y=3$인 사건• B : −1과 1 사이에만 머무는 사건• 따라서, $\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B|A)=\frac5{16}\times\frac25=\frac18$