자연계열 I 2번

주어진 적분식에 치환적분 ($\displaystyle x=\pi-t$)을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4}f(x)\,dx&=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\,dx+\int_{\frac\pi2}^{\frac{3\pi}4}f(x)\,dx=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\,dx-\int_{\frac\pi2}^{\frac\pi4}f(\pi-t)\,dt\\&=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(f(x)+(f(\pi-x))\,dx=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(e^{\frac\pi2-x}+e^{x-\frac\pi2})\sin x\,dx\quad\cdots(*)\end{aligned}$를 얻는다.$\displaystyle \frac\pi2-x=t$라 두면 적분식 (*)는 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt$가 된다.

제시문 (가)의 부분적분 공식의 보기와 유사한 방법을 적용해서$\displaystyle \begin{aligned}I&=\int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt=\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t\Biggr]_0^{\frac\pi4}+\int_0^{\frac\pi4}(e^t-e^{-t})\sin t\,dt\\&=\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t+(e^t+e^{-t})\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt=\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t+(e^t+e^{-t})\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}-I\end{aligned}$그러므로, $\displaystyle I=\int_0^{\frac\pi4}(e^t+e^{-t})\cos t\,dt=\frac12\Biggl[(e^t-e^{-t})\cos t+(e^t+e^{-t})\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}=\frac1{\sqrt2}e^{\frac\pi4}$

주어진 적분식에 제시문 (다) 미적분학의 기본 정리를 적용하면, $\displaystyle \{f(x)\}^2-\{f(-x)\}^2=0$을 얻으므로 주어진 함수 $\displaystyle \{f(x)\}^2$은 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭인 함수이다. 따라서, $\displaystyle (16x^2+8px+p^2)\sin^22x$가 짝함수이기 위해서는, $\displaystyle p=0$이어야 한다(적분 $\displaystyle \int_0^x\{f(t)\}^2\,dt+\int_0^{-x}\{f(t)\}^2\,dt=0$으로 $\displaystyle \int_0^x\{f(t)\}^2\,dt$가 홀함수임을 이용할 수도 있다. 이를 통해 $\displaystyle p=0$을 얻을 수도 있다).

$\displaystyle f(x)=4x\sin2x$이므로 반각의 공식 $\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos4x}2$을 이용하고, 두 번의 부분적분을 통하여,Correction. [2-2] 대학 예시답안의 반각 공식에서 $\displaystyle \sin^2x$는 $\displaystyle \sin^22x$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\frac\pi8}^{\frac\pi8}16x^2\sin^22x&=2\int_0^{\frac\pi8}16x^2\sin^22x\,dx=16\int_0^{\frac\pi8}(x^2-x^2\cos4x)\,dx\\&=16\left\{\Biggl[\frac13x^3-\frac{x^2}4\sin4x\Biggr]_0^{\frac\pi8}+\frac12\int_0^{\frac\pi8}x\sin4x\,dx\right\}\\&=16\Biggl[\frac13x^3-\frac{x^2}4\sin4x\Biggr]_0^{\frac\pi8}+8\Biggl[-\frac x4\cos4x+\frac1{16}\sin4x\Biggr]_0^{\frac\pi8}\\&=16\cdot\frac{\pi^3}{3\cdot8^3}-16\cdot\frac{\pi^2}{4\cdot8^2}+\frac12=\frac{\pi^3}{96}-\frac{\pi^2}{16}+\frac12\end{aligned}$을 얻는다.