자연계열 2-2번

중앙대 2017학년도 모의 자연계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2017mo/jayeon_2_2

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|\,dx$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 이고 $\displaystyle x=c$ 의 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=c$ 에서 극소이다.

[문제 2-2] 함수 $\displaystyle h(x)=(x+1)^2$ 에 대하여 $\displaystyle h(x^4-x^2)$ 의 최솟값을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [10점]

해설강의 준비중

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문제 2-2 예시 답안

+6점 · [2-2] 미분하여

\displaystyle 4x^3-2x=0

의 근

\displaystyle \frac1{\sqrt2}

를 구하고 이때의 극솟값

\displaystyle -\frac14

을 구한다: 3+3=6점 +4점 · [2-2]

\displaystyle h(x^4-x^2)

의 최솟값은

\displaystyle h\left(-\frac14\right)=\frac9{16}

이다

$\displaystyle x^4-x^2$ 의 범위를 알기 위해 먼저 최솟값을 구하자. 이를 미분하면 $\displaystyle 4x^3-2x$ 이므로, $\displaystyle x=\frac1{\sqrt2}$ 에서 극솟값 $\displaystyle -\frac14$ 을 가지고, 이 값이 최솟값이다. 즉, $\displaystyle x^4-x^2\ge-\frac14$ 이다. $\displaystyle h(x)$ 가 중심축이 $\displaystyle x=-1$ 인 이차 곡선이므로 $\displaystyle h(x^4-x^2)$ 의 최솟값은 $\displaystyle h\left(-\frac14\right)=\frac9{16}$ 이다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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