자연계열 2번

부등식이 나타내는 영역의 경계는 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$와 $\displaystyle x$축 및 원 $\displaystyle x^2+y^2=2$로 이루어져 있다. $\displaystyle y=\sqrt x$와 원 $\displaystyle x^2+y^2=2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면 $\displaystyle x=1$이다. 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_0^1\sqrt x\,dx+\int_1^{\sqrt2}\sqrt{2-x^2}\,dx$이다. $\displaystyle \int_0^1\sqrt x\,dx=\frac23$이고 $\displaystyle \int_1^{\sqrt2}\sqrt{2-x^2}\,dx$는 반지름이 $\displaystyle \sqrt2$인 원의 원주각 $\displaystyle \frac\pi4$에 해당하는 원주의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼면 $\displaystyle \frac\pi4-\frac12$이 된다. (두 번째 적분값은 치환적분으로 계산해도 된다.) 따라서 면적은 $\displaystyle \frac23+\left(\frac\pi4-\frac12\right)=\frac16+\frac\pi4$이다.

$\displaystyle x^4-x^2$의 범위를 알기 위해 먼저 최솟값을 구하자. 이를 미분하면 $\displaystyle 4x^3-2x$이므로, $\displaystyle x=\frac1{\sqrt2}$에서 극솟값 $\displaystyle -\frac14$을 가지고, 이 값이 최솟값이다. 즉, $\displaystyle x^4-x^2\ge-\frac14$이다. $\displaystyle h(x)$가 중심축이 $\displaystyle x=-1$인 이차 곡선이므로 $\displaystyle h(x^4-x^2)$의 최솟값은 $\displaystyle h\left(-\frac14\right)=\frac9{16}$이다.