자연계열 3-1번

중앙대 2017학년도 모의 자연계열 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017mo/jayeon_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면 위에서 $\displaystyle x,y$ 에 대한 부등식을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$ 전체를 부등식의 영역이라고 한다.

● 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$ ( $\displaystyle 0\le\theta\le\pi$ )일 때 내적은 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$

[문제 3-1] 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle |x-1|+|y-3|\le k$ 의 영역의 넓이를 $\displaystyle S_k$ 라 하자. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nS_k$ 의 값을 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2017학년도 모의 자연계열 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017mo/jayeon_3_1

문제 3-1 예시 답안

+4점 · [3-1] 부등식의 영역이 한 변의 길이가

\displaystyle \sqrt2k

인 정사각형이고

\displaystyle S_k=2k^2

이다 +6점 · [3-1]

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n2k^2=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}2\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\frac23

이다: 수열의 합(3)+극한계산(3)=6점

$\displaystyle |x-1|+|y-3|\le k$ 이 나타내는 영역은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt2k$ 인 정사각형이므로 $\displaystyle S_k=2k^2$ 이다. 따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n2k^2=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}2\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\frac23$ 이다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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