중앙대 2017학년도 모의 자연계열 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면 위에서 $\displaystyle x,y$ 에 대한 부등식을 만족하는 점 $\displaystyle (x,y)$ 전체를 부등식의 영역이라고 한다.

● 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$ ( $\displaystyle 0\le\theta\le\pi$ )일 때 내적은 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$

[문제 3-2] 자연수 $\displaystyle n$ 과 두 점 A $\displaystyle (\sqrt n,0)$ , B $\displaystyle (0,n)$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}\le0$ 을 만족하는 점 P $\displaystyle (x,y)$ 가 나타내는 영역의 넓이를 $\displaystyle T_n$ 이라 하고, $\displaystyle a_n=T_{n+1}-T_n$ 이라 정의하자. 이때 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{T_n}$ 과 $\displaystyle \sum_{n=1}^{16}\frac1{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}$ 의 값을 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [20점]

중앙대 2017학년도 모의 자연계열 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2017mo/jayeon_3_2

문제 3-2 예시 답안

+5점 · [3-2] 영역이 A

\displaystyle (\sqrt n,0)

, B

\displaystyle (0,n)

을 지름의 양 끝점으로 갖는 원과 그 내부이다 +5점 · [3-2] 반지름이

\displaystyle \frac12\sqrt{n+n^2}

이므로

\displaystyle T_n=\frac\pi4(n^2+n)

이고,

\displaystyle a_n=\frac\pi2(n+1)

이다: 3+2=5점 +5점 · [3-2]

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{T_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac4\pi\frac1{n(n+1)}=\frac4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac4\pi

+5점 · [3-2]

\displaystyle \sum_{n=1}^{16}\frac1{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=\frac2\pi\sum_{n=1}^{16}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})=\frac2\pi(\sqrt{a_{17}}-\sqrt{a_1})=\frac4{\sqrt\pi}

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$ 이 나타내는 영역은 $\displaystyle \cos\theta=0$ 이고 이것은 A $\displaystyle (\sqrt n,0)$ , B $\displaystyle (0,n)$ 을 지름의 끝점으로 갖는 원이므로, $\displaystyle \cos\theta\le0$ 을 만족하는 것은 원과 그 내부이다. 반지름이 $\displaystyle \frac12\sqrt{n+n^2}$ 이므로 $\displaystyle T_n=\frac\pi4(n^2+n)$ 이다. 또한 $\displaystyle a_n=T_{n+1}-T_n=\frac\pi2(n+1)$ 이다. 계산은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{T_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac4\pi\frac1{n(n+1)}=\frac4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac4\pi$ , $\displaystyle \sum_{n=1}^{16}\frac1{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=\frac2\pi\sum_{n=1}^{16}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})=\frac2\pi(\sqrt{a_{17}}-\sqrt{a_1})=\frac4{\sqrt\pi}$ 이다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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자연계열 3-2번

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