자연계열 3번

$\displaystyle |x-1|+|y-3|\le k$이 나타내는 영역은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt2k$인 정사각형이므로 $\displaystyle S_k=2k^2$이다. 따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n2k^2=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}2\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\frac23$이다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$이 나타내는 영역은 $\displaystyle \cos\theta=0$이고 이것은 A$\displaystyle (\sqrt n,0)$, B$\displaystyle (0,n)$을 지름의 끝점으로 갖는 원이므로, $\displaystyle \cos\theta\le0$을 만족하는 것은 원과 그 내부이다. 반지름이 $\displaystyle \frac12\sqrt{n+n^2}$이므로 $\displaystyle T_n=\frac\pi4(n^2+n)$이다. 또한 $\displaystyle a_n=T_{n+1}-T_n=\frac\pi2(n+1)$이다. 계산은$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{T_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac4\pi\frac1{n(n+1)}=\frac4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac4\pi$,$\displaystyle \sum_{n=1}^{16}\frac1{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=\frac2\pi\sum_{n=1}^{16}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})=\frac2\pi(\sqrt{a_{17}}-\sqrt{a_1})=\frac4{\sqrt\pi}$이다.