자연계열 I 2-2번

$\displaystyle g(x)=2\cdot2^x$, $\displaystyle h(x)=3\cdot4^x$라 놓으면, $\displaystyle x\ge0$에서 $\displaystyle g(x)\le h(x)$임을 알 수 있다. 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle g(k+1)=2\cdot2^{k+1}$, $\displaystyle h(k)=3\cdot4^k$이므로, 한 변의 길이가 1이고 네 꼭짓점이 모두 자연수 쌍의 좌표를 가지는 정사각형 중에서 영역 $\displaystyle \{(x,y)\mid k\le x\le k+1,g(x)\le y\le h(x)\}$에 포함되는 것의 개수는 $\displaystyle 3\cdot4^k-2\cdot2^{k+1}$이다. (아래의 그림 참조) 따라서$\displaystyle \begin{aligned}f(n)&=\sum_{k=1}^{n-1}(3\cdot4^k-2\cdot2^{k+1})=\frac{12(4^{n-1}-1)}{4-1}-\frac{8(2^{n-1}-1)}{2-1}\\&=(2\cdot2^{n-1}-2)^2=(2^n-2)^2\ge2016\end{aligned}$이므로 $\displaystyle (2^n-2)^2\ge2016>1936=44^2$이다. 즉, $\displaystyle 2^n>44+2=46$이다. $\displaystyle 45^2=2025>2016$이므로 $\displaystyle (2^n-2)^2\ge2016$을 만족하는 최소의 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n=6$이다.