중앙대 2017학년도 수시 자연계열 I 3-1번 해설

[문제 3] 다음 제시문 (가)~(라)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 점 A에서 점 B로 방향이 주어진 선분 AB를 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 로 나타내고, 선분 AB의 길이를 벡터의 크기 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ 로 나타낸다.

(가) 좌표평면 위의 주어진 점 $\displaystyle (a,b)$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (x,y)$ 사이의 거리 $\displaystyle \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 의 최솟값을 점 $\displaystyle (a,b)$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 사이의 거리라 정의한다.

(다) 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ 가 일대일 대응일 때 역함수 $\displaystyle f^{-1}:Y\to X$ 가 존재하고 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$

(라) 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$ 로 놓으면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

[문제 3-1] 좌표평면 위의 원점 O와 원 $\displaystyle (x-3)^2+(y-4)^2=9$ 위를 움직이는 점 P에 대하여 점 Q $\displaystyle (r,s)$ 가 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac1{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 를 만족한다. 이때 $\displaystyle s-r$ 의 최솟값을 구하시오. [10점]

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문제 3-1 예시 답안

+3점 · [3-1] Q는 원점과 점 P를 이은 직선이 단위원

\displaystyle x^2+y^2=1

과 만나는 점임을 알면 +4점 · [3-1] 접선 하나는

\displaystyle y

축이고 나머지 하나는

\displaystyle y=\frac7{24}x

이다 (

\displaystyle y

축 언급 안 해도 감점 없음) +3점 · [3-1] 교점

\displaystyle \left(\frac{24}{25},\frac7{25}\right)

을 구하고

\displaystyle s-r

의 최솟값

\displaystyle -\frac{17}{25}

을 구하면

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac1{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 로 정의된 Q는 원점과 점 P를 이은 직선이 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 과 만나는 점이 된다. 따라서 원점에서 원 $\displaystyle (x-3)^2+(y-4)^2=9$ 에 그은 두 접선의 방정식을 구하면 된다. 하나는 $\displaystyle y$ 축이고 나머지 하나를 구하기 위해서 $\displaystyle y=kx$ 로 놓고 $\displaystyle (x-3)^2+(y-4)^2=9$ 에 대입하면 $\displaystyle (k^2+1)x^2-(6+8k)x+16=0$ 이고 중근을 가지기 위해서는 $\displaystyle k=\frac7{24}$ 이다. $\displaystyle 7^2+24^2=25^2$ 이므로 직선 $\displaystyle y=\frac7{24}x$ 와 단위원이 $\displaystyle \left(\frac{24}{25},\frac7{25}\right)$ 에서 만나고 이때 $\displaystyle s-r$ 는 최솟값 $\displaystyle -\frac{17}{25}$ 을 갖는다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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자연계열 I 3-1번

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