수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 2-1번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon2_2_1

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 닫힌 구간에서 연속일 때

∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx

● 두 함수 f:X→Y\displaystyle f:X\to Y, g:Y→Z\displaystyle g:Y\to Z의 합성함수 g∘f\displaystyle g\circ f는 (g∘f)(x)=g(f(x))\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))로 정의한다.

● 집합에 속하는 모든 원소들이 가지는 공통된 성질을 제시하여 집합을 나타내는 방법을 조건제시법이라고 한다.

● 집합 A\displaystyle A의 원소가 유한 개일 때, 집합 A\displaystyle A의 원소의 개수를 n(A)\displaystyle n(A)로 나타낸다.

[문제 2-1] 자연수 k\displaystyle k에 대하여 수열 ak\displaystyle a_k를 ak=∫−k+1k(x3−x+1) dx\displaystyle a_k=\int_{-k+1}^k(x^3-x+1)\,dx로 정의할 때, ∑k=110ak\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon2_2_1

문제 2-1

+5점 · [2-1] ak=∫k−1k(x3−x) dx+2k−1\displaystyle a_k=\int_{k-1}^k(x^3-x)\,dx+2k-1을 구하면

● x3−x\displaystyle x^3-x가 홀함수인 것을 고려하면ak=∫−k+1k(x3−x+1) dx=∫−k+1k(x3−x) dx+∫−k+1k1 dx=∫k−1k(x3−x) dx+2k−1\displaystyle a_k=\int_{-k+1}^k(x^3-x+1)\,dx=\int_{-k+1}^k(x^3-x)\,dx+\int_{-k+1}^k1\,dx=\int_{k-1}^k(x^3-x)\,dx+2k-1이다.

+5점 · [2-1] ∑k=110ak=∫010(x3−x) dx+∑k=1102k−1=2450+100=2550\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=\int_0^{10}(x^3-x)\,dx+\sum_{k=1}^{10}2k-1=2450+100=2550 구하면 (5점=3+2)

● ∑k=110ak=∫010(x3−x) dx+∑k=1102k−1=2450+100=2550\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=\int_0^{10}(x^3-x)\,dx+\sum_{k=1}^{10}2k-1=2450+100=2550

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함

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