자연계열 II 1번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon2_1

[문제 1] 영희는 두 단계로 구성된 활쏘기 게임에 참여할 수 있는 기회를 얻었다. 게임은 다음과 같은 규칙으로 진행된다.

● 1단계에서는 10m 거리에서 활쏘기가 시행되며, 명중하게 되면 2단계로 넘어가서 20m 거리에서 다시 시행된다. 화살을 쏘는 것은 독립시행이고, 총 3개의 화살을 쏠 수 있다. 단, 한번 사용한 화살은 다시 사용하지 못한다고 가정한다.

● 1단계에서 성공하면 성공할 때까지의 시도 횟수에 따라 상금을 받고 2단계로 넘어가게 된다. 1단계의 상금은 다음과 같으며, 각 화살의 명중 확률은 0.7이다.

성공할 때까지의 시도 횟수	1	2	3
상금(원)	30,000	20,000	10,000

● 2단계에서는 총 3개의 화살 중 1단계에서 사용하고 남은 화살을 쏘며 명중 개수에 따라 상금을 받는다. 2단계의 상금은 다음과 같으며, 각 화살의 명중 확률은 0.6이다.

명중 개수	0	1	2
상금(원)	0	10,000	20,000

영희가 이 게임에 참여할 때, 받을 수 있는 상금의 기댓값을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon2_1

+3점 · 1단계에서 성공할 때까지의 시도횟수에 대한 확률을 정확히 계산하면

● 1단계 첫 번째 시도에서 명중할 확률은 0.7이고, 이때 상금 30,000원을 받고 2단계로 넘어가면 총 2번의 화살을 쏠 기회를 부여받는다.

+10점 · 1단계에서 성공하고 2단계로 넘어가면 화살의 명중 개수가 이항분포를 따른다는 것을 이해하고 있으면

화살의 명중 개수를 $\displaystyle X$ 라고 하면 $\displaystyle X$ 는 이항분포 B $\displaystyle (2,0.6)$ 을 따르고,

+5점 · 2단계에서 이항분포의 기댓값을 정확히 계산하면

그에 따른 기댓값 E $\displaystyle (X)=2\times0.6=1.2$ 를 갖는다. 따라서, 2단계에서 받을 수 있는 상금의 기댓값은 E $\displaystyle (10{,}000X)=10{,}000\times1.2=12{,}000$ (원)이다. 총 42,000원의 상금을 0.7의 확률로 받게 된다.

● 1단계 두 번째 시도에서 명중할 확률은 $\displaystyle 0.3\times0.7$ 이고, 이때 상금 20,000원을 받고 2단계로 넘어가면 총 1번의 화살을 쏠 기회를 부여받는다. 화살의 명중 개수를 $\displaystyle X$ 라고 하면 $\displaystyle X$ 는 이항분포 B $\displaystyle (1,0.6)$ 을 따르고, 그에 따른 기댓값 E $\displaystyle (X)=1\times0.6=0.6$ 을 갖는다. 따라서, 2단계에서 받을 수 있는 상금의 기댓값은 E $\displaystyle (10{,}000X)=10{,}000\times0.6=6{,}000$ (원)이다. 총 26,000원의 상금을 $\displaystyle 0.3\times0.7$ 의 확률로 받게 된다.

● 1단계 세 번째 시도에서 명중할 확률은 $\displaystyle 0.3\times0.3\times0.7$ 이고, 이때 상금 10,000원을 받고 게임은 종료된다.

+2점 · 1단계와 2단계를 합쳐서 총상금의 기댓값을 정확히 계산하면

● 따라서, 영희가 이 게임에 참여하여 받을 수 있는 상금의 기댓값은 다음과 같다. $\displaystyle 0.7\times42{,}000+(0.3\times0.7)\times26{,}000+(0.3\times0.3\times0.7)\times10{,}000=35{,}490$ (원)

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 2~3점의 부분 점수를 부여함

첨삭 사례

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