자연계열 II 2번

● $\displaystyle x^3-x$가 홀함수인 것을 고려하면$\displaystyle a_k=\int_{-k+1}^k(x^3-x+1)\,dx=\int_{-k+1}^k(x^3-x)\,dx+\int_{-k+1}^k1\,dx=\int_{k-1}^k(x^3-x)\,dx+2k-1$이다.

● $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=\int_0^{10}(x^3-x)\,dx+\sum_{k=1}^{10}2k-1=2450+100=2550$

● $\displaystyle y=\sin\left(k\pi\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)+\frac1{2k}$의 근을 구하면 된다. 그래프를 구하기 위해 주어진 함수를 $\displaystyle f(x)=\sin(k\pi x)+\frac1{2k}$과$\displaystyle g(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}$의 합성함수 $\displaystyle f\circ g$로 생각할 수 있다. $\displaystyle g(x)$는 단조증가하면서 $\displaystyle -1<g(x)<1$이다. 따라서$\displaystyle -k\pi<k\pi\frac{e^x-1}{e^x+1}<k\pi$이므로 $\displaystyle y=\sin\left(k\pi\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)$은 $\displaystyle x=\pm\infty$에서 $\displaystyle x$축을 점근선으로 가지면서 $\displaystyle 2k-1$개의 근을 갖는다.

● 따라서 $\displaystyle n(E_k)=2k$이고 $\displaystyle k=1,2,3,4,5$이다.