자연계열 II 3-2번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 II 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon2_3_2

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면 위에서 한 곡선 위의 점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$ 라고 할 때, $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 각각 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 인 함수의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $\displaystyle t$ 를 $\displaystyle x,y$ 의 매개변수라고 한다.

● 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 좌표를 $\displaystyle x$ 라고 하면 $\displaystyle x$ 는 시각 $\displaystyle t$ 에 대한 함수이므로 $\displaystyle x=f(t)$ 로 놓을 수 있다. 함수 $\displaystyle f(t)$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 순간 변화율

$\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$

를 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 순간 속도 또는 속도라고 한다.

● 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 $\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta\;(a\ne0,b\ne0)$ 를 $\displaystyle r\sin(\theta+\alpha)$ 의 꼴로 나타내는 것을 삼각함수의 합성이라고 한다. (단, $\displaystyle r>0$ , $\displaystyle 0\le\alpha<2\pi$ )

[문제 3-2] 다음 그림과 같이 점 R $\displaystyle (x,y)$ 는 중심이 $\displaystyle (0,1)$ 인 단위원 위에 있고, 점 S는 $\displaystyle (\sqrt3,0)$ 에 있다. 원점을 O라 할 때 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ 의 길이가 최대가 되는 R의 좌표를 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 II 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon2_3_2

문제 3-2

+3점 · [3-2] 점 R을 매개변수

\displaystyle \theta

로 바르게 나타내면

● 매개변수 $\displaystyle \theta$ 를 이용하여 원 위의 점 R을 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta+1)$ 로 나타낼 수 있다. 원점 O에서 점 R로의 벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(\cos\theta,\sin\theta+1)$ 이고, 원점 O에서 점 S $\displaystyle (\sqrt3,0)$ 으로의 벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=(\sqrt3,0)$ 이다.

+3점 · [3-2] 두 벡터의 합을 매개변수

\displaystyle \theta

로 바르게 나타내면 +3점 · [3-2] 합벡터의 길이 또는 길이의 제곱을

\displaystyle \theta

의 함수로 바르게 나타내면

● 두 벡터의 합이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}=(\cos\theta+\sqrt3,\sin\theta+1)$ 이라고 할 때, 이 벡터의 길이의 제곱은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}|^2&=(\cos\theta+\sqrt3)^2+(\sin\theta+1)^2\\&=2\sqrt3\cos\theta+2\sin\theta+5\end{aligned}$

● 위 식을 삼각함수의 합성 방법을 이용하여 정리하면, $\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}|^2&=5+4\left(\frac{2\sqrt3}4\cos\theta+\frac24\sin\theta\right)\\&=5+4\sin\left(\theta+\frac\pi3\right)\end{aligned}$

+3점 · [3-2] 합벡터가 최대가 되는

\displaystyle \theta

의 조건을 바르게 제시하면

● 이 벡터의 길이가 최대가 되려면, $\displaystyle \sin\left(\theta+\frac\pi3\right)=1,\quad\text{즉 }\theta+\frac\pi3=\frac\pi2$ 이다.

+3점 · [3-2] 합벡터가 최대가 되는 R의 값을 바르게 구하면

● 따라서 $\displaystyle \theta=\pi/6$ 이고, R은 $\displaystyle (\cos\pi/6,1+\sin\pi/6)=(\sqrt3/2,3/2)$ 이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함

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