자연계열 II 3번

● 점 Q의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x$라 하면, 선분 PQ의 길이가 3으로 일정하므로$\displaystyle (\cos\theta-x)^2+\sin^2\theta=3^2$$\displaystyle x=\cos\theta+\sqrt{9-\sin^2\theta}=\cos(2t)+\sqrt{9-\sin^2(2t)}$

● 점 Q의 $\displaystyle x$축 방향 속도는$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\sin(2t)-\frac{2\sin(2t)\cos(2t)}{\sqrt{9-\sin^2(2t)}}$

● 시각 $\displaystyle t=\pi/12$일 때 점 Q의 $\displaystyle x$축 방향 속도는$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\sin\left(\frac\pi6\right)-\frac{2\sin\left(\frac\pi6\right)\cos\left(\frac\pi6\right)}{\sqrt{9-\sin^2\left(\frac\pi6\right)}}=-1-\frac{2\times\frac12\times\frac{\sqrt3}2}{\sqrt{9-\frac14}}=-1-\frac{\sqrt3}{\sqrt{35}}$

● 매개변수 $\displaystyle \theta$를 이용하여 원 위의 점 R을 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta+1)$로 나타낼 수 있다. 원점 O에서 점 R로의 벡터는$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(\cos\theta,\sin\theta+1)$이고, 원점 O에서 점 S$\displaystyle (\sqrt3,0)$으로의 벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=(\sqrt3,0)$이다.

● 두 벡터의 합이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}=(\cos\theta+\sqrt3,\sin\theta+1)$이라고 할 때, 이 벡터의 길이의 제곱은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}|^2&=(\cos\theta+\sqrt3)^2+(\sin\theta+1)^2\\&=2\sqrt3\cos\theta+2\sin\theta+5\end{aligned}$

● 이 벡터의 길이가 최대가 되려면,$\displaystyle \sin\left(\theta+\frac\pi3\right)=1,\quad\text{즉 }\theta+\frac\pi3=\frac\pi2$이다.

● 따라서 $\displaystyle \theta=\pi/6$이고, R은 $\displaystyle (\cos\pi/6,1+\sin\pi/6)=(\sqrt3/2,3/2)$이다.