자연계열 II 3-2번

음함수 미분하면 $\displaystyle (x-t)\left(\frac{dx}{dt}-1\right)+\left(\frac{\sin x}{x^2+1}+3\right)\left(\frac{\cos x(x^2+1)-2x\sin x}{(x^2+1)^2}\right)\frac{dx}{dt}=0$이다.

$\displaystyle t=\pi+4$일 때 $\displaystyle x=\pi,y=0$이므로 위 식에 대입하면 $\displaystyle t=\pi+4$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{4\pi^2+4}{4\pi^2+7}$이다. $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x^2+1}$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{\cos x(x^2+1)-2x\sin x}{(x^2+1)^2}\frac{dx}{dt}$이고 $\displaystyle t=\pi+4$에서 계산하면 $\displaystyle \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=\left(\frac{4\pi^2+4}{4\pi^2+7},-\frac4{4\pi^2+7}\right)$이다.