자연계열 II 3번

원점과 평면 $\displaystyle x+y+z=1$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$이고 따라서 단면 $\displaystyle F$의 넓이는 $\displaystyle \frac23\pi$이다. 또한, 두 평면이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 할 때, 두 법선벡터가 $\displaystyle (1,1,1)$과 $\displaystyle (t-1,t,t+1)$이므로 내적을 이용하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3t}{\sqrt{3t^2+2}}$를 얻는다. 정사영의 넓이는 두 평면이 이루는 예각을 고려하므로 $\displaystyle S(t)=\frac23\pi\frac{\sqrt3|t|}{\sqrt{3t^2+2}}$이다. 적분을 계산하면$\displaystyle \int_{-1}^2S(t)\,dt=\frac23\pi\left(2\int_0^1\frac{\sqrt3t}{\sqrt{3t^2+2}}\,dt+\int_1^2\frac{\sqrt3t}{\sqrt{3t^2+2}}\,dt\right)=\frac{2\pi}{3\sqrt3}(\sqrt{14}+\sqrt5-2\sqrt2)$이다.

음함수 미분하면 $\displaystyle (x-t)\left(\frac{dx}{dt}-1\right)+\left(\frac{\sin x}{x^2+1}+3\right)\left(\frac{\cos x(x^2+1)-2x\sin x}{(x^2+1)^2}\right)\frac{dx}{dt}=0$이다.

$\displaystyle t=\pi+4$일 때 $\displaystyle x=\pi,y=0$이므로 위 식에 대입하면 $\displaystyle t=\pi+4$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{4\pi^2+4}{4\pi^2+7}$이다. $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x^2+1}$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{\cos x(x^2+1)-2x\sin x}{(x^2+1)^2}\frac{dx}{dt}$이고 $\displaystyle t=\pi+4$에서 계산하면 $\displaystyle \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=\left(\frac{4\pi^2+4}{4\pi^2+7},-\frac4{4\pi^2+7}\right)$이다.