자연계열 3-2번

먼저, $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac1{\sin x}\,dx$를 계산하자. $\displaystyle \frac1{\sin x}$를 $\displaystyle \frac1{\sin x}=\frac{\sin x}{\sin^2x}=\frac{\sin x}{1-\cos^2x}$로 변형한 후, 제시문 (나)에 의해

$\displaystyle \frac1{1-\cos^2x}=\frac{-1}{(\cos x-1)(\cos x+1)}=\frac{-1}2\left(\frac1{\cos x-1}-\frac1{\cos x+1}\right)=\frac12\left(\frac1{1-\cos x}+\frac1{1+\cos x}\right)$이 되므로 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac1{\sin x}\,dx=\frac12\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\,dx$를 얻는다.

제시문 (다)에 주어진 치환적분을 이용하여 적분값을 계산하면$\displaystyle \Biggl[\frac12\ln|1-\cos x|-\frac12\ln|1+\cos x|\Biggr]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac12\ln\left(\frac{1+\frac1{\sqrt2}}{1-\frac1{\sqrt2}}\right)=\frac12\ln(3+2\sqrt2)=\ln(\sqrt2+1)$이다.

한편, $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin x\,dx=\Biggl[-\cos x\Biggr]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac{\sqrt2}2$이므로 구하는 적분의 값은 $\displaystyle \ln(\sqrt2+1)-\frac{\sqrt2}2$이다.