자연계열 3번

$\displaystyle \pi$초가 경과한 시점에서 P의 위치는 다음의 적분값 $\displaystyle \int_0^\pi f(t)\,dt$이다. 제시문 (가)에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi f(t)\,dt&=\int_0^\pi\left(\sum_{k=1}^{100}\frac1k\sin((k+2)t)\right)\,dt\\&=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\Biggl[-\frac1{k+2}\cos((k+2)t)\Biggr]_0^\pi\\&=-\sum_{k=1}^{100}\frac{(-1)^{k+2}-1}{k(k+2)}\end{aligned}$

이다. 여기서 $\displaystyle (-1)^{k+2}-1$은 $\displaystyle k$가 짝수일 때 $\displaystyle -2$, $\displaystyle k$가 홀수일 때 0이므로, 제시문 (나)를 이용하면Correction. [3-1] 대학 답안의 짝수와 홀수 설명이 뒤바뀌었다. $\displaystyle (-1)^{k+2}-1$은 $\displaystyle k$가 홀수일 때 $\displaystyle -2$, 짝수일 때 $\displaystyle 0$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}-\sum_{k=1}^{100}\frac{(-1)^{k+2}-1}{k(k+2)}&=-\frac12\times(-2)\left\{\left(\frac11-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1{99}-\frac1{101}\right)\right\}\\&=\frac11-\frac1{101}=\frac{100}{101}.\end{aligned}$

먼저, $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac1{\sin x}\,dx$를 계산하자. $\displaystyle \frac1{\sin x}$를 $\displaystyle \frac1{\sin x}=\frac{\sin x}{\sin^2x}=\frac{\sin x}{1-\cos^2x}$로 변형한 후, 제시문 (나)에 의해

$\displaystyle \frac1{1-\cos^2x}=\frac{-1}{(\cos x-1)(\cos x+1)}=\frac{-1}2\left(\frac1{\cos x-1}-\frac1{\cos x+1}\right)=\frac12\left(\frac1{1-\cos x}+\frac1{1+\cos x}\right)$이 되므로 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac1{\sin x}\,dx=\frac12\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\,dx$를 얻는다.

제시문 (다)에 주어진 치환적분을 이용하여 적분값을 계산하면$\displaystyle \Biggl[\frac12\ln|1-\cos x|-\frac12\ln|1+\cos x|\Biggr]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac12\ln\left(\frac{1+\frac1{\sqrt2}}{1-\frac1{\sqrt2}}\right)=\frac12\ln(3+2\sqrt2)=\ln(\sqrt2+1)$이다.

한편, $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin x\,dx=\Biggl[-\cos x\Biggr]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac{\sqrt2}2$이므로 구하는 적분의 값은 $\displaystyle \ln(\sqrt2+1)-\frac{\sqrt2}2$이다.