중앙대 2019학년도 모의 자연계열 3-1번 해설

[문제 3] 다음 제시문 (가), (나), (다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 삼각함수의 미분법에서 $\displaystyle (\cos x)^{\prime}=-\sin x$ 이므로 다음 삼각함수의 적분공식을 얻는다. 단, $\displaystyle C$ 는 상수이다.

$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$

(나) 서로 다른 두 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 $\displaystyle a\ne0$ , $\displaystyle b\ne0$ 일 때, 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac1{ab}=\frac1{b-a}\left(\frac1a-\frac1b\right)$

(다) 미분 가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 매개변수 $\displaystyle t$ 로 치환하여 $\displaystyle g(x)=t$ 로 놓으면 임의의 연속함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=\int f(t)\,dt$

[문제 3-1] $\displaystyle x$ 축 위를 움직이는 점 S가 $\displaystyle x=0$ 에서 출발한다. $\displaystyle t$ 초 후의 속도 $\displaystyle f(t)$ 가 다음과 같이 주어질 때, $\displaystyle \pi$ 초가 경과한 시점에서 점 S의 위치를 구하시오. [10점]

$\displaystyle f(t)=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\sin((k+2)t)$

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[문제 3-1]

+2점 · [3-1] P의 위치

\displaystyle \int_0^\pi f(t)\,dt

로 주어지는 것을 언급하면

$\displaystyle \pi$ 초가 경과한 시점에서 P의 위치는 다음의 적분값 $\displaystyle \int_0^\pi f(t)\,dt$ 이다. 제시문 (가)에 의해

+3점 · [3-1]

\displaystyle \int_0^\pi f(t)\,dt

를 계산하여

\displaystyle -\sum_{k=1}^{100}\frac{(-1)^{k+2}-1}{k(k+2)}

로 정리하면

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi f(t)\,dt&=\int_0^\pi\left(\sum_{k=1}^{100}\frac1k\sin((k+2)t)\right)\,dt\\&=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\Biggl[-\frac1{k+2}\cos((k+2)t)\Biggr]_0^\pi\\&=-\sum_{k=1}^{100}\frac{(-1)^{k+2}-1}{k(k+2)}\end{aligned}$

+5점 · [3-1] 부분분수로 변형하여 합

\displaystyle \frac{100}{101}

의 값을 얻으면

이다. 여기서 $\displaystyle (-1)^{k+2}-1$ 은 $\displaystyle k$ 가 짝수일 때 $\displaystyle -2$ , $\displaystyle k$ 가 홀수일 때 0이므로, 제시문 (나)를 이용하면Correction. [3-1] 대학 답안의 짝수와 홀수 설명이 뒤바뀌었다. $\displaystyle (-1)^{k+2}-1$ 은 $\displaystyle k$ 가 홀수일 때 $\displaystyle -2$ , 짝수일 때 $\displaystyle 0$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \begin{aligned}-\sum_{k=1}^{100}\frac{(-1)^{k+2}-1}{k(k+2)}&=-\frac12\times(-2)\left\{\left(\frac11-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1{99}-\frac1{101}\right)\right\}\\&=\frac11-\frac1{101}=\frac{100}{101}.\end{aligned}$

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자연계열 3-1번

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