수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 3-1번

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon2_3_1

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문제

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이고 a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)이면 다음 식이 성립한다.

∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

● 모든 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 다음 식이 성립한다.

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

● 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가 x=f(t)\displaystyle x=f(t), y=g(t)\displaystyle y=g(t)일 때, 시각 t\displaystyle t에서 점 P의 속도는 다음과 같다.

속도 v⃗=(dxdt,dydt)=(f′(t),g′(t))\displaystyle \text{속도 }\vec v=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(f^{\prime}(t),g^{\prime}(t))

[문제 3-1] 다음을 계산하시오. [10점]

∫02e3x−1+e−x+3ex−1+e−x+1 dx\displaystyle \int_0^2\frac{e^{3x-1}+e^{-x+3}}{e^{x-1}+e^{-x+1}}\,dx

해설강의 준비중

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon2_3_1

문제 3-1

+2점 · [3-1] t=x−1\displaystyle t=x-1로 치환하여 e2∫−11e3t+e−tet+e−t dt\displaystyle e^2\int_{-1}^1\frac{e^{3t}+e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\,dt를 얻으면

t=x−1\displaystyle t=x-1로 치환한 후, 적분을 정리한다.A=∫02e3x−1+e−x+3ex−1+e−x+1 dx=∫−11e3t+2+e−t+2et+e−t dt=e2∫−11e3t+e−tet+e−t dt\displaystyle A=\int_0^2\frac{e^{3x-1}+e^{-x+3}}{e^{x-1}+e^{-x+1}}\,dx=\int_{-1}^1\frac{e^{3t+2}+e^{-t+2}}{e^t+e^{-t}}\,dt=e^2\int_{-1}^1\frac{e^{3t}+e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\,dt

+4점 · [3-1] t=−s\displaystyle t=-s로 치환하고 대칭적인 구조를 이용하여 e2∫−11e3t+e−3t+et+e−tet+e−t dt\displaystyle e^2\int_{-1}^1\frac{e^{3t}+e^{-3t}+e^t+e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\,dt를 얻으면

Correction. 이 식에는 계수 12\displaystyle \frac12가 빠졌다. 적분 앞의 e2\displaystyle e^2는 e22\displaystyle \frac{e^2}2이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그런데 s=−t\displaystyle s=-t로 치환하면 A=e2∫−11e−3s+ese−s+es ds=e2∫−11e−3t+ete−t+et dt\displaystyle A=e^2\int_{-1}^1\frac{e^{-3s}+e^s}{e^{-s}+e^s}\,ds=e^2\int_{-1}^1\frac{e^{-3t}+e^t}{e^{-t}+e^t}\,dt이므로,A=A2+A2=e22∫−11e3t+e−3t+et+e−tet+e−t dt\displaystyle A=\frac A2+\frac A2=\frac{e^2}2\int_{-1}^1\frac{e^{3t}+e^{-3t}+e^t+e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\,dt

+4점 · [3-1] 위 적분을 계산하여 e4−12\displaystyle \frac{e^4-1}2를 얻으면

이다. 분모를 다음과 같이e3t+e−3t+et+e−t=(et+e−t)(e2t+e−2t)\displaystyle e^{3t}+e^{-3t}+e^t+e^{-t}=(e^t+e^{-t})(e^{2t}+e^{-2t})인수 분해하여, 적분을 계산한다.∫02e3x−1+e−x+3ex−1+e−x+1 dx=e22∫−11e2t+e−2t dx=e22[e2t−e−2t2]−11=e4−12\displaystyle \int_0^2\frac{e^{3x-1}+e^{-x+3}}{e^{x-1}+e^{-x+1}}\,dx=\frac{e^2}2\int_{-1}^1 e^{2t}+e^{-2t}\,dx=\frac{e^2}2\Biggl[\frac{e^{2t}-e^{-2t}}2\Biggr]_{-1}^1=\frac{e^4-1}2

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