수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 2-2번

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 II 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon2_2_2

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 0과 π\displaystyle \pi 사이의 모든 실수 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대하여 다음 식이 성립한다.

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

(단, α≠π2\displaystyle \alpha\ne\frac\pi2, β≠π2\displaystyle \beta\ne\frac\pi2, tan⁡αtan⁡β≠1\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne1)

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 미분계수 f′(a)\displaystyle f^{\prime}(a)는 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 기울기와 같다.

● 좌표평면 위의 두 점 P(x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1), Q(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2) 사이의 거리는 (x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}이다.

[문제 2-2] 2보다 큰 실수 t\displaystyle t에 대하여 두 점 A(t−1,−1t)\displaystyle \left(t-1,-\frac1t\right)과 B(−t+1t,t)\displaystyle \left(-\frac{t+1}t,t\right)가 곡선 y=−1x+1\displaystyle y=-\frac1{x+1} 위에 있다. 점 A에서의 접선과 점 B에서의 접선이 만나는 점을 C라고 하자. 각 ACB가 π4\displaystyle \frac\pi4일 때, 선분 AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}의 길이의 제곱을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 II 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon2_2_2

문제 2-2

+5점 · [2-2] C=(−2tt2−1−1,−2tt2−1)\displaystyle =\left(-\frac{2t}{t^2-1}-1,-\frac{2t}{t^2-1}\right)를 구하면

A에서의 접선의 방정식 y=1t2(x+1)−2t\displaystyle y=\frac1{t^2}(x+1)-\frac2t와 B에서의 접선의 방정식 y=t2(x+1)+2t\displaystyle y=t^2(x+1)+2t를이용하여 두 접선의 교점 C=(−2tt2−1−1,−2tt2−1)\displaystyle =\left(-\frac{2t}{t^2-1}-1,-\frac{2t}{t^2-1}\right)을 t\displaystyle t로 표현한다.

+6점 · [2-2] 내적을 이용하여 t2+1t2=22\displaystyle t^2+\frac1{t^2}=2\sqrt2를 얻으면

그 다음,두 벡터 CA→=t2+1t2−1(t,1t)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\left(t,\frac1t\right)와 CB→=t2+1t2−1(1t,t)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\left(\frac1t,t\right)를 구하고, 이 두 벡터를 내적한 후t2+1t2−1(t,1t)⋅t2+1t2−1(1t,t)=t2+1t2−1t2+1t2t2+1t2−1t2+1t2cos⁡π4\displaystyle \frac{t^2+1}{t^2-1}\left(t,\frac1t\right)\cdot\frac{t^2+1}{t^2-1}\left(\frac1t,t\right)=\frac{t^2+1}{t^2-1}\sqrt{t^2+\frac1{t^2}}\frac{t^2+1}{t^2-1}\sqrt{t^2+\frac1{t^2}}\cos\frac\pi4식을 정리하여 t2+1t2=22\displaystyle t^2+\frac1{t^2}=2\sqrt2를 얻는다.

+2점 · [2-2] t2=2±1\displaystyle t^2=\sqrt2\pm1를 구하면

따라서, t2=2±1\displaystyle t^2=\sqrt2\pm1.

+2점 · [2-2] t\displaystyle t의 범위를 고려하여, 그러한 “AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}가 정의되지 않는다”를 얻으면

그러나 t\displaystyle t의 범위(t>2\displaystyle t>2)를 고려하면,그러한 t\displaystyle t는 존재하지 않으므로, AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}의 제곱은 존재하지 않는다.

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