자연계열 II 3번

$\displaystyle t=x-1$로 치환한 후, 적분을 정리한다.$\displaystyle A=\int_0^2\frac{e^{3x-1}+e^{-x+3}}{e^{x-1}+e^{-x+1}}\,dx=\int_{-1}^1\frac{e^{3t+2}+e^{-t+2}}{e^t+e^{-t}}\,dt=e^2\int_{-1}^1\frac{e^{3t}+e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\,dt$

그런데 $\displaystyle s=-t$로 치환하면 $\displaystyle A=e^2\int_{-1}^1\frac{e^{-3s}+e^s}{e^{-s}+e^s}\,ds=e^2\int_{-1}^1\frac{e^{-3t}+e^t}{e^{-t}+e^t}\,dt$이므로,$\displaystyle A=\frac A2+\frac A2=\frac{e^2}2\int_{-1}^1\frac{e^{3t}+e^{-3t}+e^t+e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\,dt$

이다. 분모를 다음과 같이$\displaystyle e^{3t}+e^{-3t}+e^t+e^{-t}=(e^t+e^{-t})(e^{2t}+e^{-2t})$인수 분해하여, 적분을 계산한다.$\displaystyle \int_0^2\frac{e^{3x-1}+e^{-x+3}}{e^{x-1}+e^{-x+1}}\,dx=\frac{e^2}2\int_{-1}^1 e^{2t}+e^{-2t}\,dx=\frac{e^2}2\Biggl[\frac{e^{2t}-e^{-2t}}2\Biggr]_{-1}^1=\frac{e^4-1}2$

시각 $\displaystyle t$에서의 점 Q의 좌표 Q$\displaystyle (a,0)$를 구하기 위해 $\displaystyle y=\frac{e^t-e^{-t}}2x$를 대입하여 계산하면 $\displaystyle a^2=\frac3{e^{2t}+e^{-2t}+1}$이고,점 Q가 연속적으로 움직이므로 $\displaystyle a=\frac{\sqrt3}{\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}+1}}$이다.

그 다음 합성함수의 미분을 이용하면$\displaystyle a^{\prime}(t)=-\sqrt3(e^{2t}-e^{-2t})(e^{2t}+e^{-2t}+1)^{-\frac32}$이고, $\displaystyle a^{\prime}(t)=\frac{\sqrt{15}}8$을 만족하는 $\displaystyle t$에 대해Correction. $\displaystyle a^{\prime}(t)=\frac{\sqrt{15}}8$은 $\displaystyle a^{\prime}(t)=-\frac{\sqrt{15}}8$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle -\sqrt3(e^{2t}-e^{-2t})(e^{2t}+e^{-2t}+1)^{-\frac32}=-\frac{\sqrt{15}}8$에서양변을 제곱하여 정리하면 $\displaystyle 64(e^{2t}-e^{-2t})^2=5(e^{2t}+e^{-2t}+1)^3$을 얻는다.

$\displaystyle (e^{2t}-e^{-2t})^2=(e^{2t}+e^{-2t})^2-4$에 착안하여 $\displaystyle X=e^{2t}+e^{-2t}$으로 치환하면 방정식$\displaystyle 5X^3-49X^2+15X+261=0$을 얻을 수 있고, $\displaystyle X=3$이 한 근이 됨을 이용하면 세 근이$\displaystyle 3$, $\displaystyle \frac{17+2\sqrt{181}}5$, $\displaystyle \frac{17-2\sqrt{181}}5$이 됨을 알 수 있다.

한편, $\displaystyle X=e^{2t}+e^{-2t}$는 미분하면 $\displaystyle t=0$에서 최솟값 2를 가지는증가함수라는 것을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle X=\frac{17-2\sqrt{181}}5$는 불가능하고 $\displaystyle X=3$이 되는 $\displaystyle t$가 $\displaystyle a^{\prime}(t)=\frac{\sqrt{15}}8$가 되는Correction. $\displaystyle a^{\prime}(t)=\frac{\sqrt{15}}8$은 $\displaystyle a^{\prime}(t)=-\frac{\sqrt{15}}8$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.최초의 $\displaystyle t$라는 것을 알 수 있다. 따라서 그 최초의 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle e^{2t}-e^{-2t}$의 값은 3이 되고, 이때Correction. 값이 $\displaystyle 3$인 식은 $\displaystyle e^{2t}-e^{-2t}$가 아니라 $\displaystyle e^{2t}+e^{-2t}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a=\frac{\sqrt3}{\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}+1}}=\frac{\sqrt3}2$이다.