중앙대 2020학년도 모의 자연계열 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 두 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ , $\displaystyle g:Y\to Z$ 에 대하여 $\displaystyle X$ 의 각 원소 $\displaystyle x$ 에 $\displaystyle Z$ 의 원소 $\displaystyle g(f(x))$ 를 대응시켜 $\displaystyle X$ 를 정의역, $\displaystyle Z$ 를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 새로운 함수를 $\displaystyle f$ 와 $\displaystyle g$ 의 합성함수라 하고, 기호로 $\displaystyle g\circ f:X\to Z$ 와 같이 나타낸다.

● $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle a\ne1$ , $\displaystyle N>0$ 일 때 다음이 성립한다.

$\displaystyle a^x=N\;\Leftrightarrow\;x=\log_aN$

● 미분 가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

[문제 2-1] 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{cx+1}{dx+1}$ 에 대하여 $\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=x$ 를 만족하는 실수 $\displaystyle x$ 가 무한히 많이 있다. 이때 $\displaystyle d$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ 는 실수이다.) [10점]

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[문제 2-1]

+4점 · [2-1] 합성함수의 정의를 이용하여,

\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=(f\circ f)(f(x))=\frac{(c^3+2cd+d)x+(c^2+c+d+1)}{d(c^2+c+d+1)x+(cd+2d+1)}

를 얻으면

합성함수의 정의를 적용하여 $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=\frac{c\left(\frac{cx+1}{dx+1}\right)+1}{d\left(\frac{cx+1}{dx+1}\right)+1}=\frac{(c^2+d)x+(c+1)}{d(c+1)x+(d+1)}$ 이 됨을 알 수 있고이로부터 $\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=(f\circ f)(f(x))=\frac{(c^3+2cd+d)x+(c^2+c+d+1)}{d(c^2+c+d+1)x+(cd+2d+1)}$ 를 얻는다.

+4점 · [2-1] 항등식의 성질을 이용하고 연립방정식을 풀어 조건

\displaystyle d=-c^2-c-1

을 얻으면

$\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=x$ 가 무한히 많은 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 성립하므로 $\displaystyle d(c^2+c+d+1)x^2+(cd+2d+1)x=(c^3+2cd+d)x+(c^2+c+d+1)$ 가항등식이라는 것을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle d(c^2+c+d+1)=0$ , $\displaystyle cd+2d+1=c^3+2cd+d$ , $\displaystyle c^2+c+d+1=0$ 을 얻는다. 이를 정리하면 $\displaystyle d=-c^2-c-1$ 의 조건을 얻고,이를 대입하면 다른 조건들도 만족됨을 알 수 있다.

+2점 · [2-1]

\displaystyle d

의 최댓값

\displaystyle -\frac34

을 얻으면

따라서 $\displaystyle d=-c^2-c-1=-\left(c+\frac12\right)^2-\frac34$ 로부터,가능한 $\displaystyle d$ 의 최댓값은 $\displaystyle c=-\frac12$ 일 때 $\displaystyle -\frac34$ 이다.

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자연계열 2-1번

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