자연계열 2번

합성함수의 정의를 적용하여$\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=\frac{c\left(\frac{cx+1}{dx+1}\right)+1}{d\left(\frac{cx+1}{dx+1}\right)+1}=\frac{(c^2+d)x+(c+1)}{d(c+1)x+(d+1)}$이 됨을 알 수 있고이로부터$\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=(f\circ f)(f(x))=\frac{(c^3+2cd+d)x+(c^2+c+d+1)}{d(c^2+c+d+1)x+(cd+2d+1)}$를 얻는다.

$\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=x$가 무한히 많은 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하므로$\displaystyle d(c^2+c+d+1)x^2+(cd+2d+1)x=(c^3+2cd+d)x+(c^2+c+d+1)$가항등식이라는 것을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle d(c^2+c+d+1)=0$, $\displaystyle cd+2d+1=c^3+2cd+d$,$\displaystyle c^2+c+d+1=0$을 얻는다. 이를 정리하면 $\displaystyle d=-c^2-c-1$의 조건을 얻고,이를 대입하면 다른 조건들도 만족됨을 알 수 있다.

따라서 $\displaystyle d=-c^2-c-1=-\left(c+\frac12\right)^2-\frac34$로부터,가능한 $\displaystyle d$의 최댓값은 $\displaystyle c=-\frac12$일 때 $\displaystyle -\frac34$이다.

$\displaystyle s=\ln t$로 치환하면 $\displaystyle g(x)=\int_1^x\sin(\ln t)\,dt=\int_0^{\ln x}\sin s\cdot e^s\,ds$가 되고, 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \int_0^{\ln x}e^s\sin s\,ds=\Biggl[-e^s\cos s\Biggr]_0^{\ln x}-\int_0^{\ln x}(-e^s\cos s)\,ds=\Biggl[-e^s\cos s\Biggr]_0^{\ln x}+\int_0^{\ln x}e^s\cos s\,ds$가 되며, 부분적분법을 한 번 더 이용하면$\displaystyle \int_0^{\ln x}e^s\sin s\,ds=\Biggl[-e^s\cos s\Biggr]_0^{\ln x}+\Biggl[e^s\sin s\Biggr]_0^{\ln x}-\int_0^{\ln x}e^s\sin s\,ds$가 되어$\displaystyle \int_0^{\ln x}e^s\sin s\,ds=\frac12\Biggl[e^s\sin s-e^s\cos s\Biggr]_0^{\ln x}=\frac x2(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))+\frac12$임을 알 수 있다.

한편, $\displaystyle g(x)$가 극값을 가지는 점들은 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\sin(\ln x)=0$인 점들이므로 $\displaystyle \ln x=n\pi$(단, $\displaystyle n$는 정수)이고,문제의 조건 $\displaystyle 0<x<1$으로부터 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=e^{-n\pi}$(단, $\displaystyle n$는 자연수)에서 극값을 가짐을 알 수 있다.

이때, $\displaystyle g(e^{-n\pi})=\frac{e^{-n\pi}}2(\sin(-n\pi)-\cos(-n\pi))+\frac12=-e^{-n\pi}\cdot(-1)^n+\frac12$이므로,Correction. [2-2] 대학 답안에서 $\displaystyle g(e^{-n\pi})$를 정리한 식에는 계수 $\displaystyle 1/2$이 빠졌다. 올바른 식은 $\displaystyle g(e^{-n\pi})=-\frac12e^{-n\pi}(-1)^n+\frac12$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\left(g(a_n)-\frac12\right)=-\frac12\sum_{n=1}^\infty(-e^{-\pi})^n=-\frac12\frac{-e^{-\pi}}{1+e^{-\pi}}=\frac1{2(e^\pi+1)}$이다.