자연계열 1번

● 동전의 앞면이 나오는 경우를 H, 뒷면이 나오는 경우를 T라고 하면 1단계에서 발생하는 사건의 확률은 다음과 같다.둘 다 앞면이 나오는 경우: $\displaystyle P(HH)=\frac14$둘 다 뒷면이 나오는 경우: $\displaystyle P(TT)=\frac14$그렇지 않은 경우: $\displaystyle 1-P(HH)-P(TT)=\frac12$

● 동전 네 개를 동시에 던져서 앞면과 뒷면의 개수가 같을 확률은 $\displaystyle {}_4\mathrm C_2\left(\frac12\right)^4=\frac38$이고,개수가 다를 확률은 $\displaystyle 1-\frac38=\frac58$이다.

● 1, 2단계를 바탕으로 최종 점수를 얻을 수 있는 경우와 그에 따르는 확률은 다음의 그림과 같이 나타낼 수 있다.

● 위의 그림을 바탕으로 영희가 얻을 수 있는 최종 점수의 기댓값은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}&1^2\left(\frac14\frac58+\frac14\frac58\frac38+\frac14\frac58\left(\frac38\right)^2+\frac14\frac58\left(\frac38\right)^3+\cdots\right)+2^2\left(\frac14\frac58+\frac14\frac58\frac38+\frac14\frac58\left(\frac38\right)^2+\frac14\frac58\left(\frac38\right)^3+\cdots\right)\\&\quad+3^2\left(\frac12\frac58+\frac12\frac58\frac38+\frac12\frac58\left(\frac38\right)^2+\frac12\frac58\left(\frac38\right)^3+\cdots\right)\\&=\frac14+1+\frac92=\frac{23}4\quad\text{또는 }5.8\end{aligned}$